Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Bất phương trình $f\left( x \right)\le {{3}^{x}}-2x+m$ có nghiệm với mọi $x\in \left( -\infty ;1 \right]$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( 1 \right)-1$
B. $m>f\left( 1 \right)+1$
C. $m\le f\left( 1 \right)-1$
D. $m<f\left( 1 \right)-1$
A. $m\ge f\left( 1 \right)-1$
B. $m>f\left( 1 \right)+1$
C. $m\le f\left( 1 \right)-1$
D. $m<f\left( 1 \right)-1$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{3}^{x}}+2x,x\in \left( -\infty ;1 \right]\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{3}^{x}}\ln 3+2$.
Dựa vào hình vẽ thì
${f}'\left( x \right)<-3,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)<-3-{{3}^{x}}\ln 3+2<0,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right)$
$\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;1 \right]\Rightarrow g\left( x \right)\ge g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)-1$.
Khi đó $m\ge g\left( x \right)$ có nghiệm với mọi $x\in \left( -\infty ;1 \right]$
$\Leftrightarrow m\ge {{\min }_{\left( -\infty ;1 \right]}}g\left( x \right)\Leftrightarrow m\ge g\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( 1 \right)-1$
Dựa vào hình vẽ thì
${f}'\left( x \right)<-3,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)<-3-{{3}^{x}}\ln 3+2<0,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right)$
$\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;1 \right]\Rightarrow g\left( x \right)\ge g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)-1$.
Khi đó $m\ge g\left( x \right)$ có nghiệm với mọi $x\in \left( -\infty ;1 \right]$
$\Leftrightarrow m\ge {{\min }_{\left( -\infty ;1 \right]}}g\left( x \right)\Leftrightarrow m\ge g\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( 1 \right)-1$
Đáp án A.