Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Bất phương trình $f\left( x \right)\le {{3}^{x}}-2\text{x}+m$ có nghiệm trên $\left( -\infty ;1 \right]$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( 1 \right)-1$
B. $m>f\left( 1 \right)+1$
C. $m\le f\left( 1 \right)-1$
D. $m<f\left( 1 \right)-1$
A. $m\ge f\left( 1 \right)-1$
B. $m>f\left( 1 \right)+1$
C. $m\le f\left( 1 \right)-1$
D. $m<f\left( 1 \right)-1$
Bất phương trình đã cho tương đương với: $m\ge f\left( x \right)-{{3}^{x}}+2\text{x}$ có nghiệm trên $\left( -\infty ;1 \right]$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{3}^{x}}+2\text{x}$ trên $\left( -\infty ;1 \right]$.
Bài toán trở thành tìm m để $m\ge g\left( x \right)$ có nghiệm trên $\left( -\infty ;1 \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( -\infty ;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{3}^{x}}\ln 3+2$.
Nhận xét: Với $x\in \left( -\infty ;1 \right]\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)\le -3 \\
& -{{3}^{x}}\ln 3<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$.
Do đó ta có $m\ge \underset{\left( -\infty ;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)-{{3}^{1}}+2.1=f\left( 1 \right)-1$.
Vậy $m\ge f\left( 1 \right)-1$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{3}^{x}}+2\text{x}$ trên $\left( -\infty ;1 \right]$.
Bài toán trở thành tìm m để $m\ge g\left( x \right)$ có nghiệm trên $\left( -\infty ;1 \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( -\infty ;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{3}^{x}}\ln 3+2$.
Nhận xét: Với $x\in \left( -\infty ;1 \right]\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)\le -3 \\
& -{{3}^{x}}\ln 3<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$.
Do đó ta có $m\ge \underset{\left( -\infty ;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)-{{3}^{1}}+2.1=f\left( 1 \right)-1$.
Vậy $m\ge f\left( 1 \right)-1$.
Đáp án A.