Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $M=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$ để hàm số $y=f\left( x+1 \right)+\dfrac{20}{m}\ln \left( \dfrac{2-x}{2+x} \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ ?
A. 3
B. 6
C. 4
D. 5
A. 3
B. 6
C. 4
D. 5
Hàm số $y=f\left( x+1 \right)+\dfrac{20}{m}\ln \left( \dfrac{2-x}{2+x} \right)$ xác định trên $\left( -1;1 \right)$.
Ta có: ${y}'={f}'\left( x+1 \right)+\dfrac{20}{m}.\dfrac{-4}{4-{{x}^{2}}}$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ khi
${y}'\le 0,\forall x\in \left( -1;1 \right)\Rightarrow {f}'\left( x+1 \right)-\dfrac{80}{m\left( 4-{{x}^{2}} \right)}\le 0,\forall x\in \left( -1;1 \right)$ (*).
Đặt $t=x+1$ khi đó $x\in \left( -1;1 \right)\Rightarrow t\in \left( 0;2 \right)$.
Từ (*) ta có ${f}'\left( t \right)-\dfrac{80}{m}.\dfrac{1}{\left( 3-t \right)\left( t+1 \right)}\le 0,\forall t\in \left( 0;2 \right)$
$\Rightarrow \dfrac{80}{m}\ge {f}'\left( t \right).\left( 3-t \right)\left( t+1 \right),\forall t\in \left( 0;2 \right)$ (1).
Dựa vào đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ta có ${f}'\left( x \right)=-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)$.
Suy ra ta có ${f}'\left( t \right)=-{{\left( t+1 \right)}^{2}}\left( t-2 \right)$.
Xét hàm số $V{{P}_{\left( 1 \right)}}=g\left( t \right)=-{{\left( t+1 \right)}^{2}}\left( t-2 \right)\left( 3-t \right)\left( t+1 \right),\forall t\in \left( 0;2 \right)$.
${g}'\left( t \right)=-{{\left( t+1 \right)}^{2}}\left( -5{{t}^{2}}+18t-13 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=\dfrac{13}{5} \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên hàm số $g\left( t \right)$
Dựa vào bảng xét dấu và từ (1) ta có $\dfrac{80}{m}\ge \underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=g\left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{80}{m}\ge 16\Leftrightarrow m\le 5$.
Ta có: ${y}'={f}'\left( x+1 \right)+\dfrac{20}{m}.\dfrac{-4}{4-{{x}^{2}}}$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ khi
${y}'\le 0,\forall x\in \left( -1;1 \right)\Rightarrow {f}'\left( x+1 \right)-\dfrac{80}{m\left( 4-{{x}^{2}} \right)}\le 0,\forall x\in \left( -1;1 \right)$ (*).
Đặt $t=x+1$ khi đó $x\in \left( -1;1 \right)\Rightarrow t\in \left( 0;2 \right)$.
Từ (*) ta có ${f}'\left( t \right)-\dfrac{80}{m}.\dfrac{1}{\left( 3-t \right)\left( t+1 \right)}\le 0,\forall t\in \left( 0;2 \right)$
$\Rightarrow \dfrac{80}{m}\ge {f}'\left( t \right).\left( 3-t \right)\left( t+1 \right),\forall t\in \left( 0;2 \right)$ (1).
Dựa vào đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ta có ${f}'\left( x \right)=-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)$.
Suy ra ta có ${f}'\left( t \right)=-{{\left( t+1 \right)}^{2}}\left( t-2 \right)$.
Xét hàm số $V{{P}_{\left( 1 \right)}}=g\left( t \right)=-{{\left( t+1 \right)}^{2}}\left( t-2 \right)\left( 3-t \right)\left( t+1 \right),\forall t\in \left( 0;2 \right)$.
${g}'\left( t \right)=-{{\left( t+1 \right)}^{2}}\left( -5{{t}^{2}}+18t-13 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=\dfrac{13}{5} \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên hàm số $g\left( t \right)$
Dựa vào bảng xét dấu và từ (1) ta có $\dfrac{80}{m}\ge \underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=g\left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{80}{m}\ge 16\Leftrightarrow m\le 5$.
Đáp án D.