Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên R, $f\left( 0 \right)=0$ và $f\left( x \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\cos x$ với mọi $x\in R$. Giá trị của $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x.{f}'\left( x \right)dx}$ bằng
A. $-\dfrac{\pi }{4}$
B. $\dfrac{1}{4}$
C. $\dfrac{\pi }{4}$
D. $-\dfrac{1}{4}$
A. $-\dfrac{\pi }{4}$
B. $\dfrac{1}{4}$
C. $\dfrac{\pi }{4}$
D. $-\dfrac{1}{4}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv={f}'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x.{f}'\left( x \right)dx=x.f\left( x \right)\left| \begin{matrix}
\dfrac{\pi }{2} \\
0 \\
\end{matrix} - \right. }\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{\pi }{2}.f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}$
Thay $x=\dfrac{\pi }{2}$ vào giả thiết, ta được $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)+f\left( 0 \right)=0\Rightarrow f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0$
Lại có $f\left( x \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\cos x$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\sin x.\cos xdx}=\dfrac{1}{2}$
Mà $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx}\to \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{4}$
$f\left( x \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\cos x\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\sin x.\cos xdx}$
Vậy $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x.{f}'\left( x \right)dx}=\dfrac{\pi }{2}.f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=0-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}$
+ Nguyên hàm từng phần: $I=\int{f\left( x \right).g\left( x \right)dx}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right) \\
& dv=g\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du={f}'\left( x \right)dx \\
& v=\int{g\left( x \right)dx} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $I=\int{udv}=uv-\int{vdu}$
& u=x \\
& dv={f}'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x.{f}'\left( x \right)dx=x.f\left( x \right)\left| \begin{matrix}
\dfrac{\pi }{2} \\
0 \\
\end{matrix} - \right. }\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{\pi }{2}.f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}$
Thay $x=\dfrac{\pi }{2}$ vào giả thiết, ta được $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)+f\left( 0 \right)=0\Rightarrow f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0$
Lại có $f\left( x \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\cos x$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\sin x.\cos xdx}=\dfrac{1}{2}$
Mà $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx}\to \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{4}$
$f\left( x \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\cos x\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\sin x.\cos xdx}$
Vậy $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x.{f}'\left( x \right)dx}=\dfrac{\pi }{2}.f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=0-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}$
Note 10: Phương pháp chung
+ Ta thấy đề bài cho có $f\left( x \right)$ và $f\left( u\left( x \right) \right)$ và hỏi về nguyên hàm của $x.{f}'\left( x \right)$ nên ta dùng phân tích từng phần để làm xuất hiện cái lượng cần có.+ Nguyên hàm từng phần: $I=\int{f\left( x \right).g\left( x \right)dx}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right) \\
& dv=g\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du={f}'\left( x \right)dx \\
& v=\int{g\left( x \right)dx} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $I=\int{udv}=uv-\int{vdu}$
Đáp án D.