Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 1 \right)=1$. Đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình bên.
Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ để hàm số $y=\left| 4f\left( \sin x \right)+\cos 2x-a \right|$ nghịch biến trên $\left( 0 ; \frac{\pi }{2} \right)$.
A. $2.$
B. $3$.
C. Vô số.
D. $5.$
Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ để hàm số $y=\left| 4f\left( \sin x \right)+\cos 2x-a \right|$ nghịch biến trên $\left( 0 ; \frac{\pi }{2} \right)$.
A. $2.$
B. $3$.
C. Vô số.
D. $5.$
$y=\left| 4f\left( \sin x \right)+\cos 2x-a \right|=\left| 4f\left( \sin x \right)-2{{\sin }^{2}}x+1-a \right|$.
Đặt $t=\sin x\Rightarrow {t}'=\cos x>0, x\in \left( 0 ; \frac{\pi }{2} \right)$ nên khi $x$ tăng trên $\left( 0 ; \frac{\pi }{2} \right)$ thì $t$ tăng trên $\left( 0 ; 1 \right)$.
Do đó hàm số $y=\left| 4f\left( \sin x \right)-2{{\sin }^{2}}x+1-a \right|$ nghịch biến trên $\left( 0 ; \frac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi hàm số $y=\left| 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a \right|$ nghịch biến trên $\left( 0 ; 1 \right)$.
Dễ thấy, điều kiện cần để hàm số $y=\left| 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a \right|$ nghịch biến trên $\left( 0 ; 1 \right)$ là phương trình $4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a=0$ vô nghiệm trên $\left( 0 ; 1 \right)$. $\left( * \right)$
Với điều kiện $\left( * \right)$, $y=\left| 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a \right|$ nghịch biến trên $\left( 0 ; 1 \right)$ khi và chỉ khi
${y}'\le 0, \forall t\in \left( 0 ; 1 \right)$ $\Leftrightarrow \frac{\left( 4{f}'\left( t \right)-4t \right)\left( 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a \right)}{\left| 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a \right|}\le 0,\ \forall t\in \left( 0 ; 1 \right)$. $\left( ** \right)$
Dựa vào đồ thị trên ta có ${f}'\left( t \right)<0, \forall t\in \left( 0 ; 1 \right)$, do đó $4{f}'\left( t \right)-4t<0, \forall t\in \left( 0 ; 1 \right)$.
Khi đó: $\left( ** \right)\Leftrightarrow 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a>0,\ \forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow a<4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1,\forall t\in \left( 0 ; 1 \right)$.
(điều kiện này luôn đảm bảo thỏa mãn (*))
Hay $a\le 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1,\forall t\in \left[ 0 ; 1 \right]$ $\Leftrightarrow a\le \underset{\left[ 0 ; 1 \right]}{\mathop{\min }} \left\{ 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1 \right\}$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1$ trên $\left[ 0 ; 1 \right]$ có ${g}'\left( t \right)=4{f}'\left( t \right)-4t<0, \forall t\in \left[ 0 ; 1 \right]$,
nên $g\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ 0 ; 1 \right]$.
$\Rightarrow \underset{\left[ 0 ; 1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( 1 \right)=3$.
Vậy $a\le \underset{\left[ 0 ; 1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=3$.
Vì $a$ nguyên dương nên $0<a\le 3$ $\Rightarrow a\in \left\{ 1;2;3 \right\}$.
Cách 2.
$y=\left| 4f\left( \sin x \right)+\cos 2x-a \right|=\left| 4f\left( \sin x \right)-2{{\sin }^{2}}x+1-a \right|$.
Đặt $t=\sin x\Rightarrow {t}'=\cos x>0, x\in \left( 0 ; \frac{\pi }{2} \right)$ nên khi $x$ tăng trên $\left( 0 ; \frac{\pi }{2} \right)$ thì $t$ tăng trên $\left( 0 ; 1 \right)$.
Do đó hàm số $y=\left| 4f\left( \sin x \right)-2{{\sin }^{2}}x+1-a \right|$ nghịch biến trên $\left( 0 ; \frac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi hàm số $y=\left| 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a \right|$ nghịch biến trên $\left( 0 ; 1 \right)$.
Xét $g\left( t \right)=4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a$ có $g\left( 1 \right)=4f\left( 1 \right)-2+1-a=3-a$.
${g}'\left( t \right)=4{f}'\left( t \right)-4t<0, \forall t\in \left( 0 ; 1 \right)$.
Do đó $g\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( 0 ; 1 \right)$.
Từ đây suy ra: $y=\left| 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a \right|$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ; 1 \right)$ khi và chỉ khi $g\left( t \right)\ge 0, \forall t\in \left[ 0 ; 1 \right]$ hay $g\left( 1 \right)\ge 0\Leftrightarrow a\le 3$.
Vì $a$ nguyên dương nên $a\in \left\{ 1; 2; 3 \right\}$.
Đặt $t=\sin x\Rightarrow {t}'=\cos x>0, x\in \left( 0 ; \frac{\pi }{2} \right)$ nên khi $x$ tăng trên $\left( 0 ; \frac{\pi }{2} \right)$ thì $t$ tăng trên $\left( 0 ; 1 \right)$.
Do đó hàm số $y=\left| 4f\left( \sin x \right)-2{{\sin }^{2}}x+1-a \right|$ nghịch biến trên $\left( 0 ; \frac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi hàm số $y=\left| 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a \right|$ nghịch biến trên $\left( 0 ; 1 \right)$.
Dễ thấy, điều kiện cần để hàm số $y=\left| 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a \right|$ nghịch biến trên $\left( 0 ; 1 \right)$ là phương trình $4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a=0$ vô nghiệm trên $\left( 0 ; 1 \right)$. $\left( * \right)$
Với điều kiện $\left( * \right)$, $y=\left| 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a \right|$ nghịch biến trên $\left( 0 ; 1 \right)$ khi và chỉ khi
${y}'\le 0, \forall t\in \left( 0 ; 1 \right)$ $\Leftrightarrow \frac{\left( 4{f}'\left( t \right)-4t \right)\left( 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a \right)}{\left| 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a \right|}\le 0,\ \forall t\in \left( 0 ; 1 \right)$. $\left( ** \right)$
Dựa vào đồ thị trên ta có ${f}'\left( t \right)<0, \forall t\in \left( 0 ; 1 \right)$, do đó $4{f}'\left( t \right)-4t<0, \forall t\in \left( 0 ; 1 \right)$.
Khi đó: $\left( ** \right)\Leftrightarrow 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a>0,\ \forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow a<4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1,\forall t\in \left( 0 ; 1 \right)$.
(điều kiện này luôn đảm bảo thỏa mãn (*))
Hay $a\le 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1,\forall t\in \left[ 0 ; 1 \right]$ $\Leftrightarrow a\le \underset{\left[ 0 ; 1 \right]}{\mathop{\min }} \left\{ 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1 \right\}$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1$ trên $\left[ 0 ; 1 \right]$ có ${g}'\left( t \right)=4{f}'\left( t \right)-4t<0, \forall t\in \left[ 0 ; 1 \right]$,
nên $g\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ 0 ; 1 \right]$.
$\Rightarrow \underset{\left[ 0 ; 1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( 1 \right)=3$.
Vậy $a\le \underset{\left[ 0 ; 1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=3$.
Vì $a$ nguyên dương nên $0<a\le 3$ $\Rightarrow a\in \left\{ 1;2;3 \right\}$.
Cách 2.
$y=\left| 4f\left( \sin x \right)+\cos 2x-a \right|=\left| 4f\left( \sin x \right)-2{{\sin }^{2}}x+1-a \right|$.
Đặt $t=\sin x\Rightarrow {t}'=\cos x>0, x\in \left( 0 ; \frac{\pi }{2} \right)$ nên khi $x$ tăng trên $\left( 0 ; \frac{\pi }{2} \right)$ thì $t$ tăng trên $\left( 0 ; 1 \right)$.
Do đó hàm số $y=\left| 4f\left( \sin x \right)-2{{\sin }^{2}}x+1-a \right|$ nghịch biến trên $\left( 0 ; \frac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi hàm số $y=\left| 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a \right|$ nghịch biến trên $\left( 0 ; 1 \right)$.
Xét $g\left( t \right)=4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a$ có $g\left( 1 \right)=4f\left( 1 \right)-2+1-a=3-a$.
${g}'\left( t \right)=4{f}'\left( t \right)-4t<0, \forall t\in \left( 0 ; 1 \right)$.
Do đó $g\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( 0 ; 1 \right)$.
Từ đây suy ra: $y=\left| 4f\left( t \right)-2{{t}^{2}}+1-a \right|$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ; 1 \right)$ khi và chỉ khi $g\left( t \right)\ge 0, \forall t\in \left[ 0 ; 1 \right]$ hay $g\left( 1 \right)\ge 0\Leftrightarrow a\le 3$.
Vì $a$ nguyên dương nên $a\in \left\{ 1; 2; 3 \right\}$.
Đáp án B.