Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 1 \right)=1$. Đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình...

.
Đặt nên khi tăng trên thì tăng trên .
Do đó hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi hàm số nghịch biến trên .
Dễ thấy, điều kiện cần để hàm số nghịch biến trên là phương trình vô nghiệm trên .
Với điều kiện , nghịch biến trên khi và chỉ khi
.
Dựa vào đồ thị trên ta có , do đó .
Khi đó: .
(điều kiện này luôn đảm bảo thỏa mãn (*))
Hay .
Xét hàm số trên có ,
nên nghịch biến trên .
.
Vậy .
Vì nguyên dương nên .
Cách 2.
.
Đặt nên khi tăng trên thì tăng trên .
Do đó hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi hàm số nghịch biến trên .
Xét có .
.
Do đó nghịch biến trên .
Từ đây suy ra: nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi hay .
Vì nguyên dương nên .