Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left(x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left(0 \right)=0; f\left(4 \right)>4$. Biết hàm $y={f}'\left(x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số $g\left(x \right)=\left| f\left({{x}^{2}} \right)-2x \right|$.
A. 1.
B. 2.
C. 5.
D. 3.
A. 1.
B. 2.
C. 5.
D. 3.
Đặt $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-2x$. Ta có ${h}'\left( x \right)=2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-2$.
Từ đồ thị ta thấy ${f}'\left( {{x}^{2}} \right)\ge 0,\forall x$. Do đó ${h}'\left( x \right)<0,\forall x<0$.
Với $x>0$, ta có ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{x}$.
Đặt $t={{x}^{2}}$, phương trình trở thành ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ $\Leftrightarrow t={{t}_{0}}\in \left( 0;1 \right)$. Khi đó ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{{{t}_{0}}}$.
Ta có $h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)=0$ và $h\left( 2 \right)=f\left( 4 \right)-4>0$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có hàm số $y=h\left( x \right)$ có 1 điểm cực trị và đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ cắt $Ox$ tại 2 điểm phân biệt $\Rightarrow $ Hàm số $y=g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ có ba điểm cực trị.
Từ đồ thị ta thấy ${f}'\left( {{x}^{2}} \right)\ge 0,\forall x$. Do đó ${h}'\left( x \right)<0,\forall x<0$.
Với $x>0$, ta có ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{x}$.
Đặt $t={{x}^{2}}$, phương trình trở thành ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ $\Leftrightarrow t={{t}_{0}}\in \left( 0;1 \right)$. Khi đó ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{{{t}_{0}}}$.
Ta có $h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)=0$ và $h\left( 2 \right)=f\left( 4 \right)-4>0$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có hàm số $y=h\left( x \right)$ có 1 điểm cực trị và đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ cắt $Ox$ tại 2 điểm phân biệt $\Rightarrow $ Hàm số $y=g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ có ba điểm cực trị.
Đáp án D.