Cho hàm số $y=f\left(x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y={f}'\left(x \right)$ như hình vẽ bên. Gọi $g\left(x...

+ Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+x-2019$ trên đoạn $\left[ -1; 2 \right]$.
+ Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}+x+1$.
Vẽ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và Parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}-x-1$ trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ.

+ Ta thấy ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)={{x}^{2}}-x-1$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
+ Bảng biến thiên .

+ Từ giả thiết $g\left( -1 \right)+g\left( 1 \right)>g\left( 0 \right)+g\left( 2 \right)$
$\Leftrightarrow g\left( -1 \right)-g\left( 2 \right)>g\left( 0 \right)-g\left( 1 \right)$
$\Rightarrow g\left( -1 \right)-g\left( 2 \right)>0$ (vì $g\left( 0 \right)>g\left( 1 \right)$ )
$\Leftrightarrow g\left( -1 \right)>g\left( 2 \right)$.
Vậy $\underset{\left[ -1; 2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)$.