Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$, thỏa mãn ${{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}=4\left[ 2{{x}^{2}}+1-f\left( x \right) \right]$ với mọi x thuộc đoạn $\left[ 0;1 \right]$ và $f\left( 1 \right)=2.$ Giá trị $I=\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx}$ bằng
A. $\dfrac{3}{4}.$
B. $\dfrac{5}{3}.$
C. $\dfrac{11}{4}.$
D. $\dfrac{4}{3}.$
A. $\dfrac{3}{4}.$
B. $\dfrac{5}{3}.$
C. $\dfrac{11}{4}.$
D. $\dfrac{4}{3}.$
Chọn hàm $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2ax+b$
Giả thiết tương đương: ${{\left( 2ax+b \right)}^{2}}=8{{x}^{2}}+4-4\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)$
$\Leftrightarrow 4a{{x}^{2}}+4abx+{{b}^{2}}=\left( 8-4a \right){{x}^{2}}-4bx+4-4c\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{aligned}
& 4a=8-4a \\
& {{b}^{2}}=4-4c \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& {{b}^{2}}=4-4c \\
\end{aligned} \right.$
Mà $f\left( 1 \right)=2\xrightarrow{{}}a+b+c=2$ nên $a=1;b=0;c=1.$
Vậy $f\left( x \right)={{x}^{2}}+1$ nên $I=\int\limits_{0}^{1}{x.\left( {{x}^{2}}+1 \right)}dx=\dfrac{3}{4}.$
Giả thiết tương đương: ${{\left( 2ax+b \right)}^{2}}=8{{x}^{2}}+4-4\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)$
$\Leftrightarrow 4a{{x}^{2}}+4abx+{{b}^{2}}=\left( 8-4a \right){{x}^{2}}-4bx+4-4c\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{aligned}
& 4a=8-4a \\
& {{b}^{2}}=4-4c \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& {{b}^{2}}=4-4c \\
\end{aligned} \right.$
Mà $f\left( 1 \right)=2\xrightarrow{{}}a+b+c=2$ nên $a=1;b=0;c=1.$
Vậy $f\left( x \right)={{x}^{2}}+1$ nên $I=\int\limits_{0}^{1}{x.\left( {{x}^{2}}+1 \right)}dx=\dfrac{3}{4}.$
Đáp án A.