Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left( -1;+\infty \right)$. Biết đẳng thức $2f\left( x \right)+\left( {{x}^{2}}-1 \right)f'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}$ được thỏa mãn $\forall x\in \left( -1;+\infty \right)$. Tính giá trị $f\left( 0 \right)$
A. $2-\sqrt{3}$
B. $-\sqrt{3}$
C. $e-\sqrt{3}$
D. Chưa đủ dữ kiện tính $f\left( 0 \right)$
A. $2-\sqrt{3}$
B. $-\sqrt{3}$
C. $e-\sqrt{3}$
D. Chưa đủ dữ kiện tính $f\left( 0 \right)$
Giả thiết trở thành: $\dfrac{x-1}{x+1}.f'\left( x \right)+\dfrac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.f\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}$
$\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{x-1}{x+1}.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x+1}.f\left( x \right)=\int{\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}dx=\sqrt{{{x}^{2}}+3}+C}$
Do đó $\dfrac{x-1}{x+1}.f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+3}+C.$ Thay $x=0$, ta được $-f\left( 0 \right)=C+\sqrt{3}\Rightarrow f\left( 0 \right)=-C-\sqrt{3}.$
Thay $x=1,$ ta được $0=2+C\Rightarrow C=-2.$ Vậy $f\left( 0 \right)=2-\sqrt{3}.$
$\Leftrightarrow {{\left[ \dfrac{x-1}{x+1}.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x+1}.f\left( x \right)=\int{\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}dx=\sqrt{{{x}^{2}}+3}+C}$
Do đó $\dfrac{x-1}{x+1}.f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+3}+C.$ Thay $x=0$, ta được $-f\left( 0 \right)=C+\sqrt{3}\Rightarrow f\left( 0 \right)=-C-\sqrt{3}.$
Thay $x=1,$ ta được $0=2+C\Rightarrow C=-2.$ Vậy $f\left( 0 \right)=2-\sqrt{3}.$
Đáp án A.