Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn ${f}'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}+f\left( x \right)$ và $f\left( 0 \right)=0.$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. $5<f\left( 1 \right)<6.$
B. $7<f\left( 1 \right)<8.$
C. $6<f\left( 1 \right)<7.$
D. $f\left( 1 \right)<5.$
A. $5<f\left( 1 \right)<6.$
B. $7<f\left( 1 \right)<8.$
C. $6<f\left( 1 \right)<7.$
D. $f\left( 1 \right)<5.$
Ta có $\dfrac{{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{e}^{x}}}=2\text{x}+1\Rightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right).{{e}^{x}}-f\left( x \right).{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}}=2\text{x}+1$
$\Rightarrow {{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{{{e}^{x}}} \right]}^{\prime }}=2\text{x}+1\Rightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{{{e}^{x}}}=\int{\left( 2\text{x}+1 \right)d\text{x}}={{x}^{2}}+x+C$.
Mà $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+x \right){{e}^{x}}\Rightarrow f\left( 1 \right)=2\text{e}$.
$\Rightarrow {{\left[ \dfrac{f\left( x \right)}{{{e}^{x}}} \right]}^{\prime }}=2\text{x}+1\Rightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{{{e}^{x}}}=\int{\left( 2\text{x}+1 \right)d\text{x}}={{x}^{2}}+x+C$.
Mà $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+x \right){{e}^{x}}\Rightarrow f\left( 1 \right)=2\text{e}$.
Đáp án A.