Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm liên tục trên khoảng

(0; + \infty)

biết

f^{'} (x) + (2 x + 3) . f^{2} (x) = 0

,

f (x) > 0

,

\forall x > 0

và

f (1) = \frac{1}{6}

. Tính giá trị của

P = 1 + f (1) + f (2) + f (3) + . . . + f (2017)

.
A.

\frac{6059}{4038}

.
B.

\frac{6055}{4038}

.
C.

\frac{6053}{4038}

.
D.

\frac{6047}{4038}

.

Giả thiết tương đương với:

\frac{- f^{'} (x)}{f^{2} (x)} = 2 x + 3

.
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được:

\int_{}^{} \frac{- f^{'} (x)}{f^{2} (x)} d x = \int_{}^{} (2 x + 3) d x

\Rightarrow \frac{1}{f (x)} = x^{2} + 3 x + C \Rightarrow f (x) = \frac{1}{x^{2} + 3 x + C} \Rightarrow f (1) = \frac{1}{4 + C}

Mà

f (1) = \frac{1}{6}

, nên ta có

\frac{1}{4 + C} = \frac{1}{6} \Rightarrow C = 2 \Rightarrow f (x) = \frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}

P = 1 + f (1) + f (2) + f (3) + . . . + f (2017)

= 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{2018} - \frac{1}{2019} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2019} = \frac{6055}{4038}

.

Đáp án B.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng...