Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[0; 1]

và thỏa mãn

f (x) + f^{'} (x) = \frac{2 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}

;

f (1) - f (0) = 2

;

\int_{0}^{1} f (x) d x = 0

. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

(C) : y = f (x)

, trục tung và trục hoành có dạng

S = \ln a - \ln b

với

a, b

là các số nguyên dương. Tính

T = a^{2} + b^{2}

.
A.

T = 13

.
B.

T = 25

.
C.

T = 34

.
D.

T = 41

.

Ta có

f (x) + f^{'} (x) = \frac{2 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}

= \frac{(2 x - 1) (x^{2} - x + 1) - 2 x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}

\Rightarrow \int f (x) d x + \int f^{'} (x) d x = \int \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1} d x - \int \frac{2 x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} d x

\Rightarrow \int f (x) d x + \int f^{'} (x) d x = \int \frac{d (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} - \int \frac{\frac{2 x^{2} - 2 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}}{{(\frac{x^{2} - x + 1}{2 x - 1})}^{2}} d x

\Rightarrow \int f (x) d x + f (x) = \int \frac{d (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} - \int \frac{d (\frac{x^{2} - x + 1}{2 x - 1})}{{(\frac{x^{2} - x + 1}{2 x - 1})}^{2}} = \ln (x^{2} - x + 1) + \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1} + C

.
Mặt khác, ta có

{\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1} d x = \ln (x^{2} - x + 1) | \begin{aligned} 1 \\ 0 \end{aligned} = 0 = \int_{0}^{1} f (x) d x \\ (\frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1}) | \begin{aligned} 1 \\ 0 \end{aligned} = 1 - (- 1) = 2 = f (1) - f (0) \\ \int \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1} d x = \ln (x^{2} - x + 1) + C \end{aligned}

nên suy ra

{\begin{aligned} C = 0 \\ f (x) = \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1} \end{aligned}

.
Do đó

S = \int_{0}^{\frac{1}{2}} | \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1} | d x = - \ln (x^{2} - x + 1) | \begin{aligned} \frac{1}{2} \\ 0 \end{aligned} = \ln \frac{4}{3} = \ln 4 - \ln 3

. Suy ra

{\begin{aligned} a = 4 \\ b = 3 \end{aligned}

.
Vậy

T = a^{2} + b^{2} = 25

.

Đáp án B.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn...