Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;8 \right]$ và có đồ thị như hình vẽ.
Biết ${{S}_{1}}=23,{{S}_{2}}=3,{{S}_{3}}=15$ lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f\left( x \right)$ và trục $Ox$. Giá trị của $I=\int\limits_{5}^{6}{\left( -2{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-9x \right){f}'\left( {{x}^{2}}-3x-10 \right)\text{d}x}$ là
A. $I=-15.$
B. $I=65.$
C. $I=5.$
D. $I=35.$
A. $I=-15.$
B. $I=65.$
C. $I=5.$
D. $I=35.$
Ta có ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{3}{f(x)\text{d}x}=23, {{S}_{2}}=\int\limits_{3}^{5}{-f(x)\text{d}x}=3, {{S}_{3}}=\int\limits_{5}^{8}{f(x)\text{d}x}=15$.
Vậy $\int\limits_{0}^{8}{f(x)\text{d}x}=\int\limits_{5}^{3}{f(x)\text{d}x}+\int\limits_{3}^{5}{f(x)\text{d}x}+\int\limits_{5}^{8}{f(x)\text{d}x}=23-3+15=35$.
Ta có: $I=\int\limits_{5}^{6}{\left( -2{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-9x \right){f}'\left( {{x}^{2}}-3x-10 \right)\text{d}x}=\int\limits_{5}^{6}{-\left( {{x}^{2}}-3x \right)(2x-3){f}'\left( {{x}^{2}}-3x-10 \right)\text{d}x}$
Đặt ${{x}^{2}}-3x-10=t\Rightarrow (2x-3)\text{d}x=\text{d}t$.
Với $x=5\Rightarrow t=0$,
với $x=6\Rightarrow t=8$.
$I=-\int\limits_{0}^{8}{\left( t+10 \right){f}'\left( t \right)\text{d}t}=-\int\limits_{0}^{8}{(t+10)\text{d}(f(t))=-\int\limits_{0}^{8}{(x+10)\text{d}(f(x))}}$
Tính $I=-\int\limits_{0}^{8}{(x+10)\text{d}(f(x))}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x+10 \\
& \text{d}v=\text{d}(f(x)) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \text{d}u=\text{d}x \\
& v=f(x) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -\int\limits_{0}^{8}{(x+10)\text{d}(f(x))=}-\left. (x+10)f(x) \right|_{0}^{8}+\int\limits_{0}^{8}{f(x)\text{d}x}$
$=-18f(8)+10.f(0)+35=-18.0+10.3+35=65.$
Vậy: $I=\int\limits_{5}^{6}{\left( -2{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-9x \right){f}'\left( {{x}^{2}}-3x-10 \right)\text{d}x}=65.$
Vậy $\int\limits_{0}^{8}{f(x)\text{d}x}=\int\limits_{5}^{3}{f(x)\text{d}x}+\int\limits_{3}^{5}{f(x)\text{d}x}+\int\limits_{5}^{8}{f(x)\text{d}x}=23-3+15=35$.
Ta có: $I=\int\limits_{5}^{6}{\left( -2{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-9x \right){f}'\left( {{x}^{2}}-3x-10 \right)\text{d}x}=\int\limits_{5}^{6}{-\left( {{x}^{2}}-3x \right)(2x-3){f}'\left( {{x}^{2}}-3x-10 \right)\text{d}x}$
Đặt ${{x}^{2}}-3x-10=t\Rightarrow (2x-3)\text{d}x=\text{d}t$.
Với $x=5\Rightarrow t=0$,
với $x=6\Rightarrow t=8$.
$I=-\int\limits_{0}^{8}{\left( t+10 \right){f}'\left( t \right)\text{d}t}=-\int\limits_{0}^{8}{(t+10)\text{d}(f(t))=-\int\limits_{0}^{8}{(x+10)\text{d}(f(x))}}$
Tính $I=-\int\limits_{0}^{8}{(x+10)\text{d}(f(x))}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x+10 \\
& \text{d}v=\text{d}(f(x)) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \text{d}u=\text{d}x \\
& v=f(x) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -\int\limits_{0}^{8}{(x+10)\text{d}(f(x))=}-\left. (x+10)f(x) \right|_{0}^{8}+\int\limits_{0}^{8}{f(x)\text{d}x}$
$=-18f(8)+10.f(0)+35=-18.0+10.3+35=65.$
Vậy: $I=\int\limits_{5}^{6}{\left( -2{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-9x \right){f}'\left( {{x}^{2}}-3x-10 \right)\text{d}x}=65.$
Đáp án B.