Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ -3;3 \right]$ và đồ thị $y=f'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Đặt $g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{x}^{2}}+4$. Biết $f\left( 1 \right)=-24$. Hỏi $g\left( x \right)=0$ có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
$\begin{aligned}
& g\left( 1 \right)=2f\left( 1 \right)+{{1}^{2}}+4=-43<0,\ g'\left( x \right)=2f'\left( x \right)+2x. \\
& g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=-x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$
Bảng biến thiên:
Đặt $\begin{aligned}
& M\left( -3;3 \right),N\left( -3;-\dfrac{9}{2} \right),A\left( 1;0 \right),B\left( 3;0 \right),C\left( 3;-3 \right),D\left( 1;-1 \right) \\
& {{S}_{MNPO}}=\dfrac{\left( \dfrac{9}{2}+\dfrac{15}{2} \right).3}{2}=18,\ {{S}_{ABCD}}=\dfrac{\left( 1+3 \right).2}{2}=4 \\
\end{aligned}$
Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f'\left( x \right),\ y=-x,\ x=-3$ và $x=1$ thì $\begin{aligned}
& {{S}_{1}}=\int\limits_{-3}^{1}{\left[ -f'\left( x \right)-x \right]dx}=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{-3}^{1}{g'\left( x \right)dx} \\
& \ \ \ \ =-\dfrac{1}{2}\left[ g\left( 1 \right)-g\left( -3 \right) \right]=\dfrac{1}{2}g\left( -3 \right)+\dfrac{43}{2}. \\
\end{aligned}$
Vì ${{S}_{1}}<{{S}_{MNPO}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}g\left( -3 \right)+\dfrac{43}{2}<18\Leftrightarrow g\left( -3 \right)<-7<0.$
Gọi ${{S}_{2}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f'\left( x \right),\ y=-x,\ x=1$ và $x=3$ thì ${{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{3}{\left[ f'\left( x \right)+x \right]dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{g'\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{2}\left[ g\left( 3 \right)-g\left( 1 \right) \right]=\dfrac{1}{2}g\left( 3 \right)+\dfrac{43}{2}$. Vì ${{S}_{2}}<{{S}_{ABCD}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}g\left( 3 \right)+\dfrac{43}{2}<4\Leftrightarrow g\left( 3 \right)<-35<0$. Vậy trên đoạn $\left[ -3;3 \right]$ phương trình $g\left( x \right)=0$ vô nghiệm.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
$\begin{aligned}
& g\left( 1 \right)=2f\left( 1 \right)+{{1}^{2}}+4=-43<0,\ g'\left( x \right)=2f'\left( x \right)+2x. \\
& g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=-x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-3 \\
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$
Bảng biến thiên:
& M\left( -3;3 \right),N\left( -3;-\dfrac{9}{2} \right),A\left( 1;0 \right),B\left( 3;0 \right),C\left( 3;-3 \right),D\left( 1;-1 \right) \\
& {{S}_{MNPO}}=\dfrac{\left( \dfrac{9}{2}+\dfrac{15}{2} \right).3}{2}=18,\ {{S}_{ABCD}}=\dfrac{\left( 1+3 \right).2}{2}=4 \\
\end{aligned}$
Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f'\left( x \right),\ y=-x,\ x=-3$ và $x=1$ thì $\begin{aligned}
& {{S}_{1}}=\int\limits_{-3}^{1}{\left[ -f'\left( x \right)-x \right]dx}=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{-3}^{1}{g'\left( x \right)dx} \\
& \ \ \ \ =-\dfrac{1}{2}\left[ g\left( 1 \right)-g\left( -3 \right) \right]=\dfrac{1}{2}g\left( -3 \right)+\dfrac{43}{2}. \\
\end{aligned}$
Vì ${{S}_{1}}<{{S}_{MNPO}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}g\left( -3 \right)+\dfrac{43}{2}<18\Leftrightarrow g\left( -3 \right)<-7<0.$
Gọi ${{S}_{2}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f'\left( x \right),\ y=-x,\ x=1$ và $x=3$ thì ${{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{3}{\left[ f'\left( x \right)+x \right]dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{g'\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{2}\left[ g\left( 3 \right)-g\left( 1 \right) \right]=\dfrac{1}{2}g\left( 3 \right)+\dfrac{43}{2}$. Vì ${{S}_{2}}<{{S}_{ABCD}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}g\left( 3 \right)+\dfrac{43}{2}<4\Leftrightarrow g\left( 3 \right)<-35<0$. Vậy trên đoạn $\left[ -3;3 \right]$ phương trình $g\left( x \right)=0$ vô nghiệm.
Đáp án A.