Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[0; 1]

và thỏa mãn

f (0) = 0

. Biết

\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \frac{9}{2}

và

\int_{0}^{1} f^{'} (x) \cos \frac{π x}{2} d x = \frac{3 π}{4}

. Tích phân

\int_{0}^{1} f (x) d x

bằng.
A.

\frac{6}{π} .

B.

\frac{2}{π} .

C.

\frac{4}{π} .

D.

\frac{1}{π} .

Đặt

{\begin{aligned} u = \cos \frac{π x}{2} \\ d v = f^{'} (x) d x \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} d u = - \frac{π}{2} \sin \frac{π x}{2} d x \\ v = f (x) \end{aligned} .

Suy ra

\begin{aligned} \int_{0}^{1} f^{'} (x) \cos \frac{π x}{2} d x = \cos \frac{π x}{2} f (x) | \begin{aligned} ^{1} \\ _{0} \end{aligned} + \frac{π}{2} \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} d x \\ = f (1) . \cos \frac{π}{2} - f (0) . \cos 0 + \frac{π}{2} \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} d x \\ = \frac{π}{2} \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} d x = \frac{3 π}{4} \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} d x = \frac{3}{2} . \end{aligned}

Xét tích phân

\int_{0}^{1} {[f (x) + k \sin \frac{π x}{2}]}^{2} d x = 0

\begin{aligned} \Leftrightarrow \int_{0}^{1} [f^{2} (x) + 2 k f (x) \sin \frac{π x}{2} + k^{2} \sin^{2} \frac{π x}{2}] d x = 0 \\ \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x + 2 k \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} + k^{2} \int_{0}^{1} \sin^{2} \frac{π x}{2} d x = 0 \Leftrightarrow \frac{9}{2} + 2 k \frac{3}{2} + \frac{1}{2} k^{2} = 0 \Leftrightarrow k = - 3. \end{aligned}

Khi đó ta có:

\int_{0}^{1} {[f (x) - 3 \sin \frac{π x}{2}]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow f (x) - 3 \sin \frac{π x}{2} = 0 \Leftrightarrow f (x) = 3 \sin \frac{π x}{2}

.
Vậy

\int_{0}^{1} f (x) d x = 3 \int_{0}^{1} \sin \frac{π x}{2} d x = - 3. \frac{\cos \frac{π x}{2}}{\frac{π}{2}} | \begin{aligned} ^{1} \\ _{0} \end{aligned} = \frac{- 6}{π} \cos \frac{π x}{2} | \begin{aligned} ^{1} \\ _{0} \end{aligned} = - \frac{6}{π} (\cos \frac{π}{2} - \cos 0) = \frac{6}{π} .

Chú ý:
Sử dụng phương pháp từng phần đối với tích phân

\int_{0}^{1} f^{'} (x) \cos \frac{π x}{2} d x = \frac{3 π}{4}

.
Xét

\int_{0}^{1} {[f (x) + k \sin \frac{π x}{2}]}^{2} d x = 0

, tìm k, từ đó suy ra

f (x) = - k \sin \frac{π x}{2}

.

\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} - k \sin \frac{π x}{2} d x

.

Đáp án A.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn...