Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=2$ và $f\left(x \right)-\left(...

Phương pháp:
- Biến đổi phù hợp và sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế tìm $f\left( x \right).$
- Sử dụng giả thiết $f\left( 1 \right)=2$ tìm hằng số $C$ và tính $\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}.$
Cách giải:
Ta có
$f\left( x \right)-\left( x+1 \right)f'\left( x \right)=2x{{f}^{2}}\left( x \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left( x+1 \right)'f\left( x \right)-\left( x+1 \right)f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=2x$
$\Leftrightarrow \left( \dfrac{x+1}{f\left( x \right)} \right)'=2x$
Lấy nguyên hàm hai vế ta có:
$\int\limits_{{}}^{{}}{\left( \dfrac{x+1}{f\left( x \right)} \right)'dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{2xdx}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x+1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+C$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}+C}$
Lại có $f\left( 1 \right)=2\Rightarrow 2=\dfrac{2}{1+C}\Leftrightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}}.$
Vậy $\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}}dx}=\left( \ln \left| x \right|-\dfrac{1}{x} \right)\left| \begin{aligned}
& 3 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{2}{3}+\ln 3.$