Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên nửa khoảng $\left[ 1;+\infty \right)$, $f\left( 1 \right)=2$ và ${{\left( \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=1,\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Tính $f\left( 2 \right)$.
A. $2\sqrt{5}.$
B. $2\sqrt{3}.$
C. $2\sqrt{2}.$
D. $2\sqrt{6}.$
A. $2\sqrt{5}.$
B. $2\sqrt{3}.$
C. $2\sqrt{2}.$
D. $2\sqrt{6}.$
${{\left( \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=1\Rightarrow \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=x+C$
Với $x=1$, ta có: $\dfrac{{{f}^{2}}\left( 1 \right)}{{{1}^{2}}}=1+C\Leftrightarrow 4=1+C\Leftrightarrow C=3$.
Suy ra $\dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=x+3\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x+3 \right)\Rightarrow f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}\left( x+3 \right)}$, vì $f\left( x \right)>0,\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)$.
Vậy $f\left( 2 \right)=2\sqrt{5}$.
Với $x=1$, ta có: $\dfrac{{{f}^{2}}\left( 1 \right)}{{{1}^{2}}}=1+C\Leftrightarrow 4=1+C\Leftrightarrow C=3$.
Suy ra $\dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=x+3\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x+3 \right)\Rightarrow f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}\left( x+3 \right)}$, vì $f\left( x \right)>0,\forall x\in \left[ 1;+\infty \right)$.
Vậy $f\left( 2 \right)=2\sqrt{5}$.
Đáp án A.