Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm là $f\prime \left( x \right)=\sin x+x\cos x,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( \pi \right)=0$. Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( \pi \right)=2\pi $, khi đó $F\left( 0 \right)$ bằng
A. $-3 \pi$.
B. $-\pi$.
C. $3 \pi$.
D. $\pi$.
A. $-3 \pi$.
B. $-\pi$.
C. $3 \pi$.
D. $\pi$.
$I=\int{f\prime \left( x \right)\text{d}x}=\int{\left( \sin x+x\cos x \right)\text{d}x}=\int{\sin x\text{d}x}+\int{x\cos x\text{d}x}$
Xét $\int{x\cos x\text{d}x}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=\cos xdx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=\sin x \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \int{x\cos x\text{d}x}=x\sin x-\int{\sin x\text{d}x}+C$.
Khi đó $I=\int{\sin x\text{d}x}+x\sin x-\int{\sin x\text{d}x}+C=x\sin x+C$.
Suy ra $f\left( x \right)=x\sin x+C$. Mà $f\left( \pi \right)=0$ nên $\pi \sin \pi +C=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=x\sin x$.
Ta có $\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( \pi \right)-F\left( 0 \right)\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\pi }{x\sin x\text{d}x}=2\pi -F\left( 0 \right)\Leftrightarrow F\left( 0 \right)=2\pi -\pi =\pi $.
Xét $\int{x\cos x\text{d}x}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=\cos xdx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=\sin x \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \int{x\cos x\text{d}x}=x\sin x-\int{\sin x\text{d}x}+C$.
Khi đó $I=\int{\sin x\text{d}x}+x\sin x-\int{\sin x\text{d}x}+C=x\sin x+C$.
Suy ra $f\left( x \right)=x\sin x+C$. Mà $f\left( \pi \right)=0$ nên $\pi \sin \pi +C=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=x\sin x$.
Ta có $\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( \pi \right)-F\left( 0 \right)\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\pi }{x\sin x\text{d}x}=2\pi -F\left( 0 \right)\Leftrightarrow F\left( 0 \right)=2\pi -\pi =\pi $.
Đáp án D.