Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm là ${f}'\left( x \right)=x.{{e}^{x}},\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=1.$ Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 2 \right)=5.$ Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $F\left( 0 \right)=6.$
B. $F\left( 0 \right)=-5.$
C. $F\left( 0 \right)=-1.$
D. $F\left( 0 \right)=4.$
A. $F\left( 0 \right)=6.$
B. $F\left( 0 \right)=-5.$
C. $F\left( 0 \right)=-1.$
D. $F\left( 0 \right)=4.$
Ta có $f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)dx}=\int{x.{{e}^{x}}dx}=x.{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}=\left( x-1 \right).{{e}^{x}}+C$
Mà $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=2$ hay $f\left( x \right)=\left( x-1 \right).{{e}^{x}}+2$
Lại có $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=F\left( 2 \right)-F\left( 0 \right)\Rightarrow F\left( 0 \right)=F\left( 2 \right)-\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}$
$\Leftrightarrow F\left( 0 \right)=5-\int\limits_{0}^{2}{\left[ \left( x-1 \right){{e}^{x}}+2 \right]dx}=5-\left. \left[ \left( x-2 \right){{e}^{x}}+2x \right] \right|_{0}^{2}=5-6=-1$
Mà $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=2$ hay $f\left( x \right)=\left( x-1 \right).{{e}^{x}}+2$
Lại có $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=F\left( 2 \right)-F\left( 0 \right)\Rightarrow F\left( 0 \right)=F\left( 2 \right)-\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}$
$\Leftrightarrow F\left( 0 \right)=5-\int\limits_{0}^{2}{\left[ \left( x-1 \right){{e}^{x}}+2 \right]dx}=5-\left. \left[ \left( x-2 \right){{e}^{x}}+2x \right] \right|_{0}^{2}=5-6=-1$
Đáp án C.