Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y=f\left( x \right)}$ có đạo hàm ${{f}'\left( x \right)}$ liên tục trên ${\mathbb{R}}$ và có đồ thị hàm số ${y={f}'\left( x \right)}$ như hình vẽ ${.}$
Bất phương trình ${f(x+1)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+x-m>0}$ có nghiệm trên ${\left[ 0; 2 \right]}$ khi và chỉ khi
A. ${m < f(2) + \dfrac{2}{3}}$
B. ${m < f(4) - 6}$
C. ${m < f(3) - \dfrac{2}{3}}$
D. ${m < f(1)}$
Bất phương trình ${f(x+1)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+x-m>0}$ có nghiệm trên ${\left[ 0; 2 \right]}$ khi và chỉ khi
A. ${m < f(2) + \dfrac{2}{3}}$
B. ${m < f(4) - 6}$
C. ${m < f(3) - \dfrac{2}{3}}$
D. ${m < f(1)}$
$f\left( x+1 \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+x-m>0$ có nghiệm $x\in \left[ 0;2 \right]\Leftrightarrow f\left( x+1 \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+x>m$ có nghiệm $2\in \left[ 0;2 \right].$
Đặt $\text{g }\left( x \right)=f\left( x+1 \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+x;t=x+1$ với $x\in \left[ 0;2 \right]$ thì $t\euro \left[ 1;3 \right].$
Xét hàm với $g\left( t \right)=f\left( t \right)=\dfrac{1}{3}-{{\left( t-1 \right)}^{3}}+t-1$ với $t\in \left[ 1;3 \right]$
$g'\left( t \right)=f'\left( t \right)-{{\left( t-1 \right)}^{2}}+1=f'\left( t \right)-\left[ {{\left( t-1 \right)}^{2}}-1 \right]$
Khi $1<t<2:f'\left( t \right)>0$ và ${{(t-1)}^{2}}-1<0$ suy ra $g'\left( t \right)>0$.
+ Khi $2<t<3:f'\left( t \right)<0$ và ${{(t-1)}^{2}}-1>0$ suy ra $g'\left( t \right)<0.$
BBT
Ycbt $\Leftrightarrow m<\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{Maxg\Leftrightarrow m<f\left( 2 \right)}} +\dfrac{2}{3}$
Đặt $\text{g }\left( x \right)=f\left( x+1 \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+x;t=x+1$ với $x\in \left[ 0;2 \right]$ thì $t\euro \left[ 1;3 \right].$
Xét hàm với $g\left( t \right)=f\left( t \right)=\dfrac{1}{3}-{{\left( t-1 \right)}^{3}}+t-1$ với $t\in \left[ 1;3 \right]$
$g'\left( t \right)=f'\left( t \right)-{{\left( t-1 \right)}^{2}}+1=f'\left( t \right)-\left[ {{\left( t-1 \right)}^{2}}-1 \right]$
Khi $1<t<2:f'\left( t \right)>0$ và ${{(t-1)}^{2}}-1<0$ suy ra $g'\left( t \right)>0$.
+ Khi $2<t<3:f'\left( t \right)<0$ và ${{(t-1)}^{2}}-1>0$ suy ra $g'\left( t \right)<0.$
BBT
Ycbt $\Leftrightarrow m<\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{Maxg\Leftrightarrow m<f\left( 2 \right)}} +\dfrac{2}{3}$
Đáp án A.