Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{x-1}+6x$, $\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$ và $f\left( 2 \right)=12$. Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thỏa $F\left( 2 \right)=6$, khi đó giá trị biểu thức $P=F\left( 5 \right)-4F\left( 3 \right)$ bằng
A. $20$.
B. $24$.
C. $10$.
D. $25$.
A. $20$.
B. $24$.
C. $10$.
D. $25$.
Trên $\left( 1;+\infty \right)$ ta có $f\left( x \right)=\int{\left( \dfrac{1}{x-1}+6x \right)}\text{d}x=\ln \left( x-1 \right)+3{{x}^{2}}+C$.Vì $f\left( 2 \right)=12$ nên $C=0$.
$F\left( x \right)=\int{\left( \ln \left( x-1 \right)+3{{x}^{2}} \right)}\text{d}x=\left( x-1 \right)\ln \left( x-1 \right)-\left( x-1 \right)+{{x}^{3}}+{{C}_{1}}.$
Vì $F\left( 2 \right)=6$ nên ${{C}_{1}}=-1$.
$F\left( x \right)=\left( x-1 \right)\ln \left( x-1 \right)+{{x}^{3}}-x.$ Vậy $P=F\left( 5 \right)-4F\left( 3 \right)=24.$
$F\left( x \right)=\int{\left( \ln \left( x-1 \right)+3{{x}^{2}} \right)}\text{d}x=\left( x-1 \right)\ln \left( x-1 \right)-\left( x-1 \right)+{{x}^{3}}+{{C}_{1}}.$
Vì $F\left( 2 \right)=6$ nên ${{C}_{1}}=-1$.
$F\left( x \right)=\left( x-1 \right)\ln \left( x-1 \right)+{{x}^{3}}-x.$ Vậy $P=F\left( 5 \right)-4F\left( 3 \right)=24.$
Đáp án B.