Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)=-{{x}^{2}}-2x+3$ với $\forall x\in \mathbb{R}$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\left[ -10; 10 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m \right)+{{m}^{2}}+2$ đồng biến trên $\left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right)$ là
A. $5$.
B. $6$.
C. $14$.
D. $15$.
A. $5$.
B. $6$.
C. $14$.
D. $15$.
Ta có: $g\left( x \right)=f\left( {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m \right)+{{m}^{2}}+2$
${g}'\left( x \right)=\left( 2\sin x.\cos x+3\cos x \right){f}'\left( {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m \right)=\cos x\left( 2\sin x+3 \right){f}'\left( {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m \right)$ $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right)$ $\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right)$
$\Leftrightarrow \cos x\left( 2\sin x+3 \right){f}'\left( {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m \right)\ge 0,\forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right)$
$\Leftrightarrow {f}'\left( {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m \right)\le 0,\forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right)$.
Theo giả thiết: ${f}'\left( x \right)=-{{x}^{2}}-2x+3\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge 1 \\
& x\le -3 \\
\end{aligned} \right.$, ta có:
${f}'\left( {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m \right)\le 0,\forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m\ge 1, \forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right) \\
& {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m\le -3, \forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\sin }^{2}}x+3\sin x\ge m+1, \forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right) \\
& {{\sin }^{2}}x+3\sin x\le m-3, \forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right) \\
\end{aligned} \right.$.(1)
Xét hàm số $u\left( x \right)={{\sin }^{2}}x+3\sin x$ trên $\left[ \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right]$, ta có $\underset{\left[ \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right]}{\mathop{\max }} u\left( x \right)=\dfrac{3+6\sqrt{3}}{4}$
$\underset{\left[ \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right]}{\mathop{\min }} u\left( x \right)=\dfrac{7}{4}$, do đó (1)$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-3\ge \dfrac{3+6\sqrt{3}}{4} \\
& m+1\le \dfrac{7}{4} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge \dfrac{15+6\sqrt{3}}{4} \\
& m\le \dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và thuộc $\left[ -10; 10 \right]$ ta được $m\in \left\{ -10, -9,...,0, 7, ...,10 \right\}$. Vậy có 15 số nguyên $m$ thỏa mãn bài toán.
${g}'\left( x \right)=\left( 2\sin x.\cos x+3\cos x \right){f}'\left( {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m \right)=\cos x\left( 2\sin x+3 \right){f}'\left( {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m \right)$ $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right)$ $\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right)$
$\Leftrightarrow \cos x\left( 2\sin x+3 \right){f}'\left( {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m \right)\ge 0,\forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right)$
$\Leftrightarrow {f}'\left( {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m \right)\le 0,\forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right)$.
Theo giả thiết: ${f}'\left( x \right)=-{{x}^{2}}-2x+3\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge 1 \\
& x\le -3 \\
\end{aligned} \right.$, ta có:
${f}'\left( {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m \right)\le 0,\forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m\ge 1, \forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right) \\
& {{\sin }^{2}}x+3\sin x-m\le -3, \forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\sin }^{2}}x+3\sin x\ge m+1, \forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right) \\
& {{\sin }^{2}}x+3\sin x\le m-3, \forall x\in \left( \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right) \\
\end{aligned} \right.$.(1)
Xét hàm số $u\left( x \right)={{\sin }^{2}}x+3\sin x$ trên $\left[ \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right]$, ta có $\underset{\left[ \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right]}{\mathop{\max }} u\left( x \right)=\dfrac{3+6\sqrt{3}}{4}$
$\underset{\left[ \dfrac{2\pi }{3}; \dfrac{5\pi }{6} \right]}{\mathop{\min }} u\left( x \right)=\dfrac{7}{4}$, do đó (1)$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-3\ge \dfrac{3+6\sqrt{3}}{4} \\
& m+1\le \dfrac{7}{4} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge \dfrac{15+6\sqrt{3}}{4} \\
& m\le \dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và thuộc $\left[ -10; 10 \right]$ ta được $m\in \left\{ -10, -9,...,0, 7, ...,10 \right\}$. Vậy có 15 số nguyên $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án D.