Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm ${f}'\left( x...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm

f^{'} (x) = - x^{2} - 2 x + 3

với

\forall x \in R

. Số giá trị nguyên của tham số

m

thuộc

[- 10; 10]

để hàm số

g (x) = f (\sin^{2} x + 3 \sin x - m) + m^{2} + 2

đồng biến trên

(\frac{2 π}{3}; \frac{5 π}{6})

là
A.

5

.
B.

6

.
C.

14

.
D.

15

.

Ta có:

g (x) = f (\sin^{2} x + 3 \sin x - m) + m^{2} + 2

g^{'} (x) = (2 \sin x . \cos x + 3 \cos x) f^{'} (\sin^{2} x + 3 \sin x - m) = \cos x (2 \sin x + 3) f^{'} (\sin^{2} x + 3 \sin x - m)

g (x)

đồng biến trên

(\frac{2 π}{3}; \frac{5 π}{6})

\Leftrightarrow g^{'} (x) \geq 0, \forall x \in (\frac{2 π}{3}; \frac{5 π}{6})

\Leftrightarrow \cos x (2 \sin x + 3) f^{'} (\sin^{2} x + 3 \sin x - m) \geq 0, \forall x \in (\frac{2 π}{3}; \frac{5 π}{6})

\Leftrightarrow f^{'} (\sin^{2} x + 3 \sin x - m) \leq 0, \forall x \in (\frac{2 π}{3}; \frac{5 π}{6})

.
Theo giả thiết:

f^{'} (x) = - x^{2} - 2 x + 3 \leq 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x \geq 1 \\ x \leq - 3 \end{aligned}

, ta có:

f^{'} (\sin^{2} x + 3 \sin x - m) \leq 0, \forall x \in (\frac{2 π}{3}; \frac{5 π}{6}) \Leftrightarrow [\begin{aligned} \sin^{2} x + 3 \sin x - m \geq 1, \forall x \in (\frac{2 π}{3}; \frac{5 π}{6}) \\ \sin^{2} x + 3 \sin x - m \leq - 3, \forall x \in (\frac{2 π}{3}; \frac{5 π}{6}) \end{aligned}

\Leftrightarrow [\begin{aligned} \sin^{2} x + 3 \sin x \geq m + 1, \forall x \in (\frac{2 π}{3}; \frac{5 π}{6}) \\ \sin^{2} x + 3 \sin x \leq m - 3, \forall x \in (\frac{2 π}{3}; \frac{5 π}{6}) \end{aligned}

.(1)
Xét hàm số

u (x) = \sin^{2} x + 3 \sin x

trên

[\frac{2 π}{3}; \frac{5 π}{6}]

, ta có

max_{[\frac{2 π}{3}; \frac{5 π}{6}]} u (x) = \frac{3 + 6 \sqrt{3}}{4}

min_{[\frac{2 π}{3}; \frac{5 π}{6}]} u (x) = \frac{7}{4}

, do đó (1)

\Leftrightarrow [\begin{aligned} m - 3 \geq \frac{3 + 6 \sqrt{3}}{4} \\ m + 1 \leq \frac{7}{4} \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} m \geq \frac{15 + 6 \sqrt{3}}{4} \\ m \leq \frac{3}{4} \end{aligned}

Kết hợp với

m \in Z

và thuộc

[- 10; 10]

ta được

m \in {- 10, - 9, . . ., 0, 7, . . ., 10}

. Vậy có 15 số nguyên

m

thỏa mãn bài toán.

Đáp án D.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm ${f}'\left( x...