Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+mx+5 \right)$ với $\forall x\in \mathbb{R}.$ Số giá trị nguyên âm của m để hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$ là
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 7.
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 7.
Ta có ${g}'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}+x-2 \right).$
Hàm số đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$ khi $\left( 2x+1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)\ge 0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)\ge 0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right) \\
& \Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+x \right)\left[ {{\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}^{2}}+m\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)+5 \right]\ge 0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\left( 1 \right). \\
\end{aligned}$
Đặt $t={{x}^{2}}+x-2$ với $t>0,$ do $x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\begin{aligned}
& \left( 1 \right)\Rightarrow {{t}^{2}}\left( t+2 \right)\left( {{t}^{2}}+mt+5 \right)\ge 0,\forall t>0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+mt+5\ge 0,\forall t>0 \\
& \Leftrightarrow m\ge -\left( t+\dfrac{5}{t} \right),\forall t>0\Leftrightarrow m\ge -2\sqrt{5}\approx -4,47. \\
\end{aligned}$
Do m nguyên âm nên $m\in \left\{ 4;-3;-2;-1 \right\}.$
Hàm số đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$ khi $\left( 2x+1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)\ge 0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)\ge 0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right) \\
& \Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+x \right)\left[ {{\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}^{2}}+m\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)+5 \right]\ge 0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\left( 1 \right). \\
\end{aligned}$
Đặt $t={{x}^{2}}+x-2$ với $t>0,$ do $x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\begin{aligned}
& \left( 1 \right)\Rightarrow {{t}^{2}}\left( t+2 \right)\left( {{t}^{2}}+mt+5 \right)\ge 0,\forall t>0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+mt+5\ge 0,\forall t>0 \\
& \Leftrightarrow m\ge -\left( t+\dfrac{5}{t} \right),\forall t>0\Leftrightarrow m\ge -2\sqrt{5}\approx -4,47. \\
\end{aligned}$
Do m nguyên âm nên $m\in \left\{ 4;-3;-2;-1 \right\}.$
Đáp án B.