Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x...

$y=f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+m \right)\Rightarrow {y}'=\left( 3{{x}^{2}}-6x-9 \right){f}'\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+m \right)$
Ta có $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
3{{x}^{2}}-6x-9=0 \\
{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+m=2 \\
{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+m=-3 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=-1 \\
x=3 \\
{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x=2-m \\
{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x=-3-m \\
\end{matrix} \right.\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x-9$
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=-1 \\
x=3 \\
\end{matrix} \right.$
Bảng biến thiên:
Để $\left( * \right)$ có 6 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x=2-m \\
{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x=-3-m \\
\end{matrix} \right. $ có 4 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
2-m\ge 5 \\
-27<-3-m<5 \\
\end{matrix} \right. \\
\left\{ \begin{matrix}
-3-m\le -27 \\
5>2-m>-27 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
m\le -3 \\
-8<m<24 \\
\end{matrix} \right. \\
\left\{ \begin{matrix}
m\ge 24 \\
3<m<29 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
-8<m\le -3 \\
24\le m<29 \\
\end{matrix} \right.$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -7;...;-3;24;...28 \right\}$