Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)=\left( x+1 \right){{e}^{x}}$, có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn $\left[ -2020;2021 \right]$ để hàm số $y=g\left( x \right)=f\left( \ln x \right)-m{{x}^{2}}+mx-2$ nghịch biến trên $\left( e;{{e}^{2020}} \right)$ ?
A. 2020.
B. 2018.
C. 2021.
D. 2019.
A. 2020.
B. 2018.
C. 2021.
D. 2019.
Ta có ${g}'\left( x \right)={{\left( \ln x \right)}^{\prime }}.{f}'\left( \ln x \right)-2mx+m\le 0; \forall x\in \left( e;{{e}^{2020}} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{{f}'\left( \ln x \right)}{x}\le \left( 2x-1 \right)m; \forall x\in \left( e;{{e}^{2020}} \right)$ mà ${f}'\left( \ln x \right)=\left( \ln x+1 \right)x$
Do đó $m\ge \dfrac{{f}'\left( \ln x \right)}{x\left( 2x-1 \right)}=\dfrac{\ln x+1}{2x-1}; \forall x\in \left( e;{{e}^{2020}} \right)$
Xét hàm số $h\left( x \right)=\dfrac{\ln x+1}{2x-1}$ trên khoảng $\left( e;{{e}^{2020}} \right)\xrightarrow{{}}\underset{\left( e;{{e}^{2020}} \right)}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=h\left( e \right)=\dfrac{2}{2e-1}$
Suy ra $m\ge \dfrac{2}{2e-1}$ mà $m\in \mathbb{Z}, m\in \left[ -2020;2021 \right]\xrightarrow{{}}$ có 2021 số nguyên m.
$\Leftrightarrow \dfrac{{f}'\left( \ln x \right)}{x}\le \left( 2x-1 \right)m; \forall x\in \left( e;{{e}^{2020}} \right)$ mà ${f}'\left( \ln x \right)=\left( \ln x+1 \right)x$
Do đó $m\ge \dfrac{{f}'\left( \ln x \right)}{x\left( 2x-1 \right)}=\dfrac{\ln x+1}{2x-1}; \forall x\in \left( e;{{e}^{2020}} \right)$
Xét hàm số $h\left( x \right)=\dfrac{\ln x+1}{2x-1}$ trên khoảng $\left( e;{{e}^{2020}} \right)\xrightarrow{{}}\underset{\left( e;{{e}^{2020}} \right)}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=h\left( e \right)=\dfrac{2}{2e-1}$
Suy ra $m\ge \dfrac{2}{2e-1}$ mà $m\in \mathbb{Z}, m\in \left[ -2020;2021 \right]\xrightarrow{{}}$ có 2021 số nguyên m.
Đáp án C.