Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)={{(x-3)}^{2020}}\left( {{\pi }^{2x}}-{{\pi }^{x}}+2021 \right)\left( {{x}^{2}}-2x \right),\!\!~\!\!\forall x\in \mathbb{R}$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$ có đúng 3 cực trị ${{x}_{1}},\!\!~\!\!{{x}_{2}},\!\!~\!\!{{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=50$. Khi đó tổng các phần tử của $S$ bằng
A. 17.
B. 33.
C. 35.
D. 51.
A. 17.
B. 33.
C. 35.
D. 51.
Ta có $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{(x-3)}^{2020}}=0 \\
{{\pi }^{2x}}-{{\pi }^{x}}+2021=0\!\!~\!\!\left( vn \right) \\
{{x}^{2}}-2x=0 \\
\end{array} \right.\!\!~\!\!\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=3 \\
x=0 \\
x=2 \\
\end{array} \right. $. Dễ thấy $ x=3 $ là nghiệm bội chẵn nên không là cực trị của hàm số $ y=f\left( x \right)$.
Xét $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=\left( 2x-8 \right)f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4 \\
f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4 \\
{{x}^{2}}-8x+m=0\!\!~\!\!\left( 1 \right) \\
{{x}^{2}}-8x+m=2\!\!~\!\!\left( 2 \right) \\
\end{array} \right.$.
Để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$ có đúng 3 cực trị ${{x}_{1}},\!\!~\!\!{{x}_{2}},\!\!~\!\!{{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=50$ thì cần 2 cực trị khác $4$ thỏa mãn $x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=34$.
TH1. Phương trình $\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $4$ thỏa mãn $x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=34$ và phương trình $\left( 2 \right)$ có nhiều nhất một nghiệm.
Khi đó $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
16-m>0 \\
m\ne 16 \\
m=15 \\
18-m\le 0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow $ không tồn tại $ m$.
TH2. Phương trình $\left( 2 \right)$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $4$ thỏa mãn $x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=34$ và phương trình $\left( 1 \right)$ có nhiều nhất một nghiệm.
Khi đó $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
18-m>0 \\
m\ne 18 \\
m=17 \\
16-m\le 0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow m=17.$
Vậy với $m=17$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
{{(x-3)}^{2020}}=0 \\
{{\pi }^{2x}}-{{\pi }^{x}}+2021=0\!\!~\!\!\left( vn \right) \\
{{x}^{2}}-2x=0 \\
\end{array} \right.\!\!~\!\!\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=3 \\
x=0 \\
x=2 \\
\end{array} \right. $. Dễ thấy $ x=3 $ là nghiệm bội chẵn nên không là cực trị của hàm số $ y=f\left( x \right)$.
Xét $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=\left( 2x-8 \right)f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4 \\
f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=4 \\
{{x}^{2}}-8x+m=0\!\!~\!\!\left( 1 \right) \\
{{x}^{2}}-8x+m=2\!\!~\!\!\left( 2 \right) \\
\end{array} \right.$.
Để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$ có đúng 3 cực trị ${{x}_{1}},\!\!~\!\!{{x}_{2}},\!\!~\!\!{{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=50$ thì cần 2 cực trị khác $4$ thỏa mãn $x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=34$.
TH1. Phương trình $\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $4$ thỏa mãn $x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=34$ và phương trình $\left( 2 \right)$ có nhiều nhất một nghiệm.
Khi đó $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
16-m>0 \\
m\ne 16 \\
m=15 \\
18-m\le 0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow $ không tồn tại $ m$.
TH2. Phương trình $\left( 2 \right)$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $4$ thỏa mãn $x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=34$ và phương trình $\left( 1 \right)$ có nhiều nhất một nghiệm.
Khi đó $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
18-m>0 \\
m\ne 18 \\
m=17 \\
16-m\le 0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow m=17.$
Vậy với $m=17$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.