Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)$, với $\forall x\in \mathbb{R}$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)$ có $8$ điểm cực trị là
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có $g'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right){{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m-2 \right)$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0;x=2 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-m\text{ }\left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-m+1\text{ }\left( 2 \right) \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-m+2\text{ }\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta thấy (1), (2), (3) không có nghiệm chung và ${{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m-1 \right)}^{2}}\ge 0\forall x\in R$
Để hàm số $g\left( x \right)$ có 8 cực trị thì (1), (3) đều có ba nghiệm phân biệt khác 0 và 2.
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$, $x\in R$. Có $h'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x$ ; $h'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có BBT:
Từ BBT để (1), (3) đều có ba nghiệm phân biệt khác 0 và 2 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4<-m<0 \\
& -4<-m+2<0\text{ } \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<m<4 \\
& 2<m<6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m<4$.
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có $g'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right){{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m-2 \right)$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0;x=2 \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-m\text{ }\left( 1 \right) \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-m+1\text{ }\left( 2 \right) \\
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-m+2\text{ }\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta thấy (1), (2), (3) không có nghiệm chung và ${{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m-1 \right)}^{2}}\ge 0\forall x\in R$
Để hàm số $g\left( x \right)$ có 8 cực trị thì (1), (3) đều có ba nghiệm phân biệt khác 0 và 2.
Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$, $x\in R$. Có $h'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x$ ; $h'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có BBT:
& -4<-m<0 \\
& -4<-m+2<0\text{ } \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<m<4 \\
& 2<m<6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m<4$.
Đáp án A.