Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left[ {{x}^{2}}+\left( 4m-5 \right)x+{{m}^{2}}-7m+6 \right],\forall x\in \mathbb{R}.$ Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị?
A. 4.
B. 2.
C. 5.
D. 3.
Ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+\left( 4m-5 \right)x+{{m}^{2}}-7m+6=0\ \ \ \left( * \right) \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right..$
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị
$\Leftrightarrow $ Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị dương
$\Leftrightarrow $ Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa $\left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}\ne 1\ \ \ \left( 1 \right) \\
& {{x}_{1}}=0<{{x}_{2}}\ne 1\ \ \ \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-7m+6<0 \\
& {{1}^{2}}+\left( 4m-5 \right).1+{{m}^{2}}-7m+6\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1<m<6 \\
& m\ne 1,m\ne 2 \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-7m+6=0 \\
& 0<5-4m\ne 1 \\
\end{aligned} \right.\ $ hệ này vô nghiệm.
Do đó tập các giá trị nguyên m thỏa yêu cầu bài toán là $\left\{ 3;4;5 \right\}$.
A. 4.
B. 2.
C. 5.
D. 3.
Ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+\left( 4m-5 \right)x+{{m}^{2}}-7m+6=0\ \ \ \left( * \right) \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right..$
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị
$\Leftrightarrow $ Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị dương
$\Leftrightarrow $ Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa $\left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}\ne 1\ \ \ \left( 1 \right) \\
& {{x}_{1}}=0<{{x}_{2}}\ne 1\ \ \ \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-7m+6<0 \\
& {{1}^{2}}+\left( 4m-5 \right).1+{{m}^{2}}-7m+6\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1<m<6 \\
& m\ne 1,m\ne 2 \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-7m+6=0 \\
& 0<5-4m\ne 1 \\
\end{aligned} \right.\ $ hệ này vô nghiệm.
Do đó tập các giá trị nguyên m thỏa yêu cầu bài toán là $\left\{ 3;4;5 \right\}$.
Đáp án D.