Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 3{{x}^{4}}+m{{x}^{3}}+1 \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$ Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)?$
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Ta có: ${g}'\left( x \right)=2\text{x}.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)=2\text{x}.{{x}^{4}}.{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}.\left( 3{{\text{x}}^{8}}+m{{\text{x}}^{6}}+1 \right)$
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)\ge 0\ \left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{8}}+m{{x}^{6}}+1\ge 0\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow h\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}+m\ge 0\ \forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{Min}} h\left( x \right)\ge 0$ (*)
Mặt khác với $x\in \left( 0;+\infty \right)$ thì $3{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}={{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}\ge 4\sqrt[4]{{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.\dfrac{1}{{{x}^{6}}}}=4$
Do đó (*) $\Leftrightarrow 4+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge -4$
Kết hợp $m{{\in }^{+}}\Rightarrow m=\left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}.$
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)\ge 0\ \left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{8}}+m{{x}^{6}}+1\ge 0\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow h\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}+m\ge 0\ \forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{Min}} h\left( x \right)\ge 0$ (*)
Mặt khác với $x\in \left( 0;+\infty \right)$ thì $3{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}={{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}\ge 4\sqrt[4]{{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.\dfrac{1}{{{x}^{6}}}}=4$
Do đó (*) $\Leftrightarrow 4+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge -4$
Kết hợp $m{{\in }^{+}}\Rightarrow m=\left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}.$
Đáp án B.