Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}+2mx+5 \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng một điểm cực trị
A. $3$
B. $5$
C. $4$
D. $2$
A. $3$
B. $5$
C. $4$
D. $2$
${f}'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}+2mx+5 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=-3 \\
& {{x}^{2}}+2mx+5=0\text{ }\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $g\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)\text{ }khi\text{ }x\ge 0 \\
& \begin{matrix}
f\left( -x \right) & khix<0 \\
\end{matrix} \\
\end{aligned} \right.$.
Để hàm số $y=g\left( x \right)$ Có đúng 1 điểm Cực trị
$\Leftrightarrow $ khi hàm số $y=f\left( x \right)$ không Có điểm Cực trị nào thuộc khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Trường hợp 1: Phương trình $\left( 1 \right)$ vô nghiệm hoặc Có nghiệm kép
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-5\le 0\Leftrightarrow -\sqrt{5}\le m\le \sqrt{5}$ (*)
Trường hợp 2: Phương trình $\left( 1 \right)$ Có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ phân biệt thoả mãn ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-5>0 \\
& -2m<0 \\
& 5>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>\sqrt{5}$(**).
Từ (*) và (**) suy ra $m\ge -\sqrt{5}$. Vì $m$ là số nguyên âm nên: $m=\left\{ -2;-1 \right\}$
& x=-1 \\
& x=-3 \\
& {{x}^{2}}+2mx+5=0\text{ }\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $g\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)\text{ }khi\text{ }x\ge 0 \\
& \begin{matrix}
f\left( -x \right) & khix<0 \\
\end{matrix} \\
\end{aligned} \right.$.
Để hàm số $y=g\left( x \right)$ Có đúng 1 điểm Cực trị
$\Leftrightarrow $ khi hàm số $y=f\left( x \right)$ không Có điểm Cực trị nào thuộc khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Trường hợp 1: Phương trình $\left( 1 \right)$ vô nghiệm hoặc Có nghiệm kép
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-5\le 0\Leftrightarrow -\sqrt{5}\le m\le \sqrt{5}$ (*)
Trường hợp 2: Phương trình $\left( 1 \right)$ Có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ phân biệt thoả mãn ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-5>0 \\
& -2m<0 \\
& 5>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>\sqrt{5}$(**).
Từ (*) và (**) suy ra $m\ge -\sqrt{5}$. Vì $m$ là số nguyên âm nên: $m=\left\{ -2;-1 \right\}$
Đáp án D.