Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên tập số thực $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.
Biết $f\left( -1 \right)=\dfrac{13}{4}, f\left( 2 \right)=6$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)={{f}^{3}}\left( x \right)-3f\left( x \right)$ trên $\left[ -1;2 \right]$ bằng
A. $\dfrac{1573}{64}$.
B. $198$.
C. $\dfrac{37}{4}$.
D. $\dfrac{14245}{64}$.
Biết $f\left( -1 \right)=\dfrac{13}{4}, f\left( 2 \right)=6$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)={{f}^{3}}\left( x \right)-3f\left( x \right)$ trên $\left[ -1;2 \right]$ bằng
A. $\dfrac{1573}{64}$.
B. $198$.
C. $\dfrac{37}{4}$.
D. $\dfrac{14245}{64}$.
Từ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và giả thiết $f\left( -1 \right)=\dfrac{13}{4}, f\left( 2 \right)=6$ ta có bảng biến thiên hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ -1;2 \right]$ :
Ta có ${g}'\left( x \right)=3{{f}^{2}}\left( x \right).{f}'\left( x \right)-3{f}'\left( x \right)$.
Xét trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$.
${g}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow 3{f}'\left( x \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-1 \right]=0$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)={{f}^{3}}\left( -1 \right)-3f\left( -1 \right)=\dfrac{1573}{64}$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=3{{f}^{2}}\left( x \right).{f}'\left( x \right)-3{f}'\left( x \right)$.
Xét trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$.
${g}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow 3{f}'\left( x \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-1 \right]=0$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)={{f}^{3}}\left( -1 \right)-3f\left( -1 \right)=\dfrac{1573}{64}$.
Đáp án A.