Google
Câu hỏi: . Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ. Biết $f\left( -1 \right)=\dfrac{13}{4},f\left( 2 \right)=6$. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)={{f}^{3}}\left( x \right)-3f\left( x \right)$ trên $\left[ -1;2 \right]$ bằng
A. $\dfrac{1573}{64}.$
B. $198.$
C. $\dfrac{37}{4}.$
D. $\dfrac{14245}{64}.$
A. $\dfrac{1573}{64}.$
B. $198.$
C. $\dfrac{37}{4}.$
D. $\dfrac{14245}{64}.$
Ta có ngay $\dfrac{13}{4}\le f\left( x \right)\le 6,\forall x\in \left[ -1;2 \right]$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=3{{f}^{2}}\left( x \right).{f}'\left( x \right)-3{f}'\left( x \right)=0=3{f}'\left( x \right).f\left( x \right).\left[ f\left( x \right)-1 \right]$.
Với $\forall x\in \left( -1;2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>0 \\
& f\left( x \right).\left[ f\left( x \right)-1 \right]>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -1;2 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M=g\left( 2 \right)={{f}^{3}}\left( 2 \right)-3f\left( 2 \right)=198 \\
& m=f\left( -1 \right)={{f}^{3}}\left( -1 \right)-3f\left( -1 \right)=\dfrac{1573}{64} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M+m=\dfrac{14245}{64}$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=3{{f}^{2}}\left( x \right).{f}'\left( x \right)-3{f}'\left( x \right)=0=3{f}'\left( x \right).f\left( x \right).\left[ f\left( x \right)-1 \right]$.
Với $\forall x\in \left( -1;2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>0 \\
& f\left( x \right).\left[ f\left( x \right)-1 \right]>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -1;2 \right)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M=g\left( 2 \right)={{f}^{3}}\left( 2 \right)-3f\left( 2 \right)=198 \\
& m=f\left( -1 \right)={{f}^{3}}\left( -1 \right)-3f\left( -1 \right)=\dfrac{1573}{64} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M+m=\dfrac{14245}{64}$.
Đáp án D.