Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)$ với $\forall x\in \mathbb{R}.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $f\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$ có 5 điểm cực trị?
A. 15.
B. 17.
C. 16.
D. 18.
A. 15.
B. 17.
C. 16.
D. 18.
Đặt $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$
${g}'\left( x \right)=\left( 2x-8 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=\left( 2x-8 \right){{\left( {{x}^{2}}-8x+m-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\left( {{x}^{2}}-8x+m-2 \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& {{x}^{2}}-8x+m-1=0\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+m=0\text{ }\left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+m-2=0\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Các phương trình (1), (2), (3) không có nghiệm chung từng đôi một.
Ta cần phải loại nghiệm kép, khi đó $g\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\left( {{x}^{2}}-8x+m-2 \right)=0$ có 4 nghiệm phân biệt khác 4
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{{{\Delta }'}}_{1}}=16-m>0 \\
& {{{{\Delta }'}}_{2}}=16-m+2>0 \\
& 16-32+m\ne 0 \\
& 16-32+m-2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<16 \\
& m<18 \\
& m\ne 16 \\
& m\ne 18 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<16\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;...;15 \right\}$.
${g}'\left( x \right)=\left( 2x-8 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=\left( 2x-8 \right){{\left( {{x}^{2}}-8x+m-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\left( {{x}^{2}}-8x+m-2 \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& {{x}^{2}}-8x+m-1=0\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+m=0\text{ }\left( 2 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+m-2=0\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Các phương trình (1), (2), (3) không có nghiệm chung từng đôi một.
Ta cần phải loại nghiệm kép, khi đó $g\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\left( {{x}^{2}}-8x+m-2 \right)=0$ có 4 nghiệm phân biệt khác 4
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{{{\Delta }'}}_{1}}=16-m>0 \\
& {{{{\Delta }'}}_{2}}=16-m+2>0 \\
& 16-32+m\ne 0 \\
& 16-32+m-2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<16 \\
& m<18 \\
& m\ne 16 \\
& m\ne 18 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<16\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;...;15 \right\}$.
Đáp án A.