Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và trục hoành đồng thời có diện tích $S=a$. Biết rằng $\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right){f}'\left( x \right)dx=b}$ và $f\left( 3 \right)=c$. Giá trị của $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$ bằng
A. $a-b-c.$
B. $-a+b+c.$
C. $-a+b+c.$
D. $a-b+c.$
B. $-a+b+c.$
C. $-a+b+c.$
D. $a-b+c.$
Từ đồ thị ta có: $S=\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( x \right)dx}-\int\limits_{1}^{3}{{f}'\left( x \right)dx}\Rightarrow a=2f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)-f\left( 3 \right)\left( 1 \right)$.
Lại có $\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right){f}'\left( x \right)dx}=\left. \left( x+1 \right)f\left( x \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$.
$\Rightarrow b=2f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}\Rightarrow b=a+c-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=a+c-b$.
Lại có $\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right){f}'\left( x \right)dx}=\left. \left( x+1 \right)f\left( x \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$.
$\Rightarrow b=2f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}\Rightarrow b=a+c-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=a+c-b$.
Đáp án D.