Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=1$ và $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=2$. Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( \sqrt{x} \right)\text{d}x}$ bằng
A. $2.$
B. $-2.$
C. $-1.$
D. $1.$
A. $2.$
B. $-2.$
C. $-1.$
D. $1.$
Đặt $\sqrt{x}=t\Rightarrow f\left( \sqrt{x} \right)=f\left( t \right)\Rightarrow f'\left( \sqrt{x} \right).\dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx=f'\left( t \right)dt\Rightarrow f'\left( \sqrt{x} \right)dx=2tf'\left( t \right)dt$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0;x=1\Rightarrow t=1$
Khi đó: $\int\limits_{0}^{1}{f'\left( \sqrt{x} \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{2tf'\left( t \right)dt}=2\int\limits_{0}^{1}{tf'\left( t \right)dt}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=t \\
& dv=f'\left( t \right)dt \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dt \\
& v=f\left( t \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2\int\limits_{0}^{1}{tf'\left( t \right)dt}=2tf\left( t \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-2\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=2f\left( 1 \right)-4=-2.$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0;x=1\Rightarrow t=1$
Khi đó: $\int\limits_{0}^{1}{f'\left( \sqrt{x} \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{2tf'\left( t \right)dt}=2\int\limits_{0}^{1}{tf'\left( t \right)dt}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=t \\
& dv=f'\left( t \right)dt \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dt \\
& v=f\left( t \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2\int\limits_{0}^{1}{tf'\left( t \right)dt}=2tf\left( t \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-2\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=2f\left( 1 \right)-4=-2.$
Đáp án B.