Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm đến cấp hai trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=0;f''\left( x \right)>-\dfrac{1}{6},\forall x\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-mx \right|$, với m là tham số dương, có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 2.
C. 5.
D. 3.
B. 2.
C. 5.
D. 3.
Từ đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ suy ra $f'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
Do đó, $f'\left( {{x}^{2}} \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-mx;h'\left( x \right)=2x.f'\left( {{x}^{2}} \right)-m$.
Với $x<0,h'(x)<0\Rightarrow $ Phương trình $h'\left( x \right)=0$ vô nghiệm.
Với $x\ge 0$ ta có $h''\left( x \right)=2f'\left( {{x}^{2}} \right)+4{{x}^{2}}f''\left( {{x}^{2}} \right)>2f'\left( {{x}^{2}} \right)-\dfrac{2{{x}^{2}}}{3}$
Từ đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ ta thấy với $x\ge 0$, đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ luôn nằm trên đường thẳng $y=\dfrac{x}{3}$.
Do đó, $2f'\left( {{x}^{2}} \right)-\dfrac{2{{x}^{2}}}{3}\ge 0,\forall x\ge 0\Rightarrow h''\left( x \right)\ge 0,\forall x\ge 0$ hay hàm số $y=h'\left( x \right)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Mà $h'\left( 0 \right)=-m<0$ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} h'\left( x \right)=+\infty $ nên phương trình $h'\left( x \right)=0$ có một nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}\in \left( 0;+\infty \right)$.
Bảng biến thiên:
Khi đó phương trình $h\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Đồng thời hàm số $y=h\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x={{x}_{0}}$, giá trị cực tiểu $h\left( {{x}_{0}} \right)<0$.
Vậy hàm số $y=\left| h\left( x \right) \right|$ có 3 điểm cực trị.
Do đó, $f'\left( {{x}^{2}} \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-mx;h'\left( x \right)=2x.f'\left( {{x}^{2}} \right)-m$.
Với $x<0,h'(x)<0\Rightarrow $ Phương trình $h'\left( x \right)=0$ vô nghiệm.
Với $x\ge 0$ ta có $h''\left( x \right)=2f'\left( {{x}^{2}} \right)+4{{x}^{2}}f''\left( {{x}^{2}} \right)>2f'\left( {{x}^{2}} \right)-\dfrac{2{{x}^{2}}}{3}$
Từ đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ ta thấy với $x\ge 0$, đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ luôn nằm trên đường thẳng $y=\dfrac{x}{3}$.
Do đó, $2f'\left( {{x}^{2}} \right)-\dfrac{2{{x}^{2}}}{3}\ge 0,\forall x\ge 0\Rightarrow h''\left( x \right)\ge 0,\forall x\ge 0$ hay hàm số $y=h'\left( x \right)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Mà $h'\left( 0 \right)=-m<0$ và $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} h'\left( x \right)=+\infty $ nên phương trình $h'\left( x \right)=0$ có một nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}\in \left( 0;+\infty \right)$.
Bảng biến thiên:
Khi đó phương trình $h\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Đồng thời hàm số $y=h\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x={{x}_{0}}$, giá trị cực tiểu $h\left( {{x}_{0}} \right)<0$.
Vậy hàm số $y=\left| h\left( x \right) \right|$ có 3 điểm cực trị.
Đáp án D.