Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết ${f}'\left( -2 \right)=-8,{f}'\left( 1 \right)=4$ và đồ thị hàm số ${f}''\left( x \right)$ như hình vẽ dưới đây. Hàm số $y=2f\left( x-3 \right)+16x+1$ đạt giá trị lớn nhất tại ${{x}_{0}}$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( 0;4 \right)$.
B. $\left( 4;+\infty \right)$.
C. $\left( -\infty ;1 \right)$.
D. $\left( -2;1 \right)$.
A. $\left( 0;4 \right)$.
B. $\left( 4;+\infty \right)$.
C. $\left( -\infty ;1 \right)$.
D. $\left( -2;1 \right)$.
Từ đồ thì hàm số ${f}''\left( x \right)$ ta có bảng biến thiên của hàm số ${f}'\left( x \right)$ như sau:
Ta có: ${y}'=2{f}'\left( x-3 \right)+16=0\Leftrightarrow {f}'\left( x-3 \right)=-8$.
Từ bảng biến thiên, ta thấy ${f}'\left( x-3 \right)=-8\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-3=-2 \\
& x-3={{x}_{0}}\left( {{x}_{0}}>1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x={{x}_{0}}+3 \\
\end{aligned} \right.$
Theo bảng biến thiên của ${f}'\left( x \right)$ ta có ${f}'\left( x \right)\ge -8,\forall x\le {{x}_{0}};{f}'\left( x \right)<-8\forall x>{{x}_{0}}$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)\ge -8,\forall x$ thỏa mãn $x\le 3+{{x}_{0}}$
${f}'\left( x \right)<-8,\forall x$ thỏa mãn $x>3+{{x}_{0}}$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=2f\left( x-3 \right)+16x+1$
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số $y=2f\left( x-3 \right)+16x+1$ đạt giá trị lớn nhất tại $x={{x}_{0}}+3>4$.
Ta có: ${y}'=2{f}'\left( x-3 \right)+16=0\Leftrightarrow {f}'\left( x-3 \right)=-8$.
Từ bảng biến thiên, ta thấy ${f}'\left( x-3 \right)=-8\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-3=-2 \\
& x-3={{x}_{0}}\left( {{x}_{0}}>1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x={{x}_{0}}+3 \\
\end{aligned} \right.$
Theo bảng biến thiên của ${f}'\left( x \right)$ ta có ${f}'\left( x \right)\ge -8,\forall x\le {{x}_{0}};{f}'\left( x \right)<-8\forall x>{{x}_{0}}$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)\ge -8,\forall x$ thỏa mãn $x\le 3+{{x}_{0}}$
${f}'\left( x \right)<-8,\forall x$ thỏa mãn $x>3+{{x}_{0}}$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=2f\left( x-3 \right)+16x+1$
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số $y=2f\left( x-3 \right)+16x+1$ đạt giá trị lớn nhất tại $x={{x}_{0}}+3>4$.
Đáp án B.