Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Biết $f\left( 2 \right)+f\left( 6 \right)=2f\left( 3 \right)$. Tập nghiệm của phương trình $f\left( {{x}^{2}}+1 \right)=f\left( 3 \right)$ có số phần tử bằng
A. 5
B. 4
C. 2
D. 1
Biết $f\left( 2 \right)+f\left( 6 \right)=2f\left( 3 \right)$. Tập nghiệm của phương trình $f\left( {{x}^{2}}+1 \right)=f\left( 3 \right)$ có số phần tử bằng
A. 5
B. 4
C. 2
D. 1
HD: Đặt $t={{x}^{2}}+1\Rightarrow t\ge 1,$ phương trình trở thành $f\left( t \right)=f\left( 3 \right)$ với $t\ge 1$
Dựa vào bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$ ta có BBT của hàm số $y=f\left( t \right)$ trên $\left[ 1;+\infty \right)$ như sau:
Mặt khác $f\left( 2 \right)+f\left( 6 \right)=2f\left( 3 \right)\Rightarrow f\left( 6 \right)-f\left( 3 \right)=f\left( 3 \right)-f\left( 2 \right)$, mà $f\left( 3 \right)-f\left( 2 \right)>0$ nên $f\left( 6 \right)-f\left( 3 \right)>0$ hay $f\left( 6 \right)>f\left( 3 \right).$
Khi đó phương trình $f\left( t \right)=f\left( 3 \right)$ có 2 nghiệm $\left[ \begin{aligned}
& t=3 \\
& t=b\left( b>4 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm \sqrt{2} \\
& x=\pm \sqrt{b-1} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $Phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Dựa vào bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$ ta có BBT của hàm số $y=f\left( t \right)$ trên $\left[ 1;+\infty \right)$ như sau:
Mặt khác $f\left( 2 \right)+f\left( 6 \right)=2f\left( 3 \right)\Rightarrow f\left( 6 \right)-f\left( 3 \right)=f\left( 3 \right)-f\left( 2 \right)$, mà $f\left( 3 \right)-f\left( 2 \right)>0$ nên $f\left( 6 \right)-f\left( 3 \right)>0$ hay $f\left( 6 \right)>f\left( 3 \right).$
Khi đó phương trình $f\left( t \right)=f\left( 3 \right)$ có 2 nghiệm $\left[ \begin{aligned}
& t=3 \\
& t=b\left( b>4 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm \sqrt{2} \\
& x=\pm \sqrt{b-1} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $Phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Đáp án B.