Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên Tìm tất cả...

Dựa vào BBT suy ra $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Bất phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -1;+\infty \right)}{\mathop{Min}} f\left( \sqrt{x+1}+1 \right)\left( * \right)$
Xét $g\left( x \right)=f\left( \sqrt{x+1}+1 \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}.f'\left( \sqrt{x+1}+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{x+1}+1=1 \\
& \sqrt{x+1}+1=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Lại có: $g\left( -1 \right)=f\left( 1 \right)=2,g\left( 3 \right)=f\left( 3 \right)=-4,$ $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( \sqrt{x+1}+1 \right)=+\infty $
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow m\ge -4.$