Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên sau.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}-3\text{x} \right)-\dfrac{1}{5}{{x}^{5}}+\dfrac{5}{3}{{x}^{3}}-4\text{x}-\dfrac{7}{15}$ trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ ?
A. $-19$
B. $-20$
C. $-21$
D. $-22$
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}-3\text{x} \right)-\dfrac{1}{5}{{x}^{5}}+\dfrac{5}{3}{{x}^{3}}-4\text{x}-\dfrac{7}{15}$ trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ ?
A. $-19$
B. $-20$
C. $-21$
D. $-22$
Ta có ${g}'\left( x \right)=\left( 3{{\text{x}}^{2}}-3 \right){f}'\left( {{x}^{3}}-3\text{x} \right)-{{x}^{4}}+5{{\text{x}}^{2}}-4$
$=\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left[ 3{f}'\left( {{x}^{3}}-3\text{x} \right)+4-{{x}^{2}} \right]$.
Với $x\in \left[ -1;2 \right]\Rightarrow {{x}^{3}}-3\text{x}\in \left[ -2;2 \right]$ nên ${f}'\left( {{x}^{2}}-3\text{x} \right)>0,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$.
Và $x\in \left[ -1;2 \right]$ thì $4-{{x}^{2}}\ge 0$ nên ${f}'\left( {{x}^{3}}-3\text{x} \right)+4-{{x}^{2}}>0,\forall x\in \left[ -1;2 \right]$.
Do đó ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Dựa vào bảng biến thiên, ta được $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=f\left( -2 \right)-3=-19$.
$=\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left[ 3{f}'\left( {{x}^{3}}-3\text{x} \right)+4-{{x}^{2}} \right]$.
Với $x\in \left[ -1;2 \right]\Rightarrow {{x}^{3}}-3\text{x}\in \left[ -2;2 \right]$ nên ${f}'\left( {{x}^{2}}-3\text{x} \right)>0,\forall x\in \left[ -2;2 \right]$.
Và $x\in \left[ -1;2 \right]$ thì $4-{{x}^{2}}\ge 0$ nên ${f}'\left( {{x}^{3}}-3\text{x} \right)+4-{{x}^{2}}>0,\forall x\in \left[ -1;2 \right]$.
Do đó ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Dựa vào bảng biến thiên, ta được $\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=f\left( -2 \right)-3=-19$.
Đáp án A.