Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y = f\left( x \right)}$ có bảng biến thiên như sau
Đồ thị hàm số ${y = g\left( x \right) = \dfrac{{{f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + 1}}{{{f^2}\left( x \right) - 9}}}$ có tổng số tất cả các đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là
A. ${6}$.
B. ${7}$.
C. ${4}$.
D. ${5}$.
Đồ thị hàm số ${y = g\left( x \right) = \dfrac{{{f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + 1}}{{{f^2}\left( x \right) - 9}}}$ có tổng số tất cả các đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là
A. ${6}$.
B. ${7}$.
C. ${4}$.
D. ${5}$.
Điều kiện xác định của hàm số là. ${{f}^{2}}\left( x \right)-9\pm 0\Leftrightarrow f\left( x \right)\ne \pm 3$
Ta có $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty $ nên $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{1+\dfrac{2}{f\left( x \right)}+\dfrac{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)}}{1-\dfrac{9}{{{f}^{2}}\left( x \right)}}=1$ có Suy ra đường thẳng
$y=1$ là tiệm cận ngang.
Từ bảng biến thiên ta có : Phương trình $f\left( x \right)=3$ có 3 nghiệm phân biệt. Phương trình $f\left( x \right)=-3$ có 2 nghiệm phân biệt. Và phương trình $f\left( x \right)=-1$ có 3 nghiệm phân biệt và các nghiệm này không trùng với các nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=\pm 3.$ Do đó hàm số $y=g\left( x \right)$ có 5 tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có 6 đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang.
Ta có $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty $ nên $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{1+\dfrac{2}{f\left( x \right)}+\dfrac{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)}}{1-\dfrac{9}{{{f}^{2}}\left( x \right)}}=1$ có Suy ra đường thẳng
$y=1$ là tiệm cận ngang.
Từ bảng biến thiên ta có : Phương trình $f\left( x \right)=3$ có 3 nghiệm phân biệt. Phương trình $f\left( x \right)=-3$ có 2 nghiệm phân biệt. Và phương trình $f\left( x \right)=-1$ có 3 nghiệm phân biệt và các nghiệm này không trùng với các nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=\pm 3.$ Do đó hàm số $y=g\left( x \right)$ có 5 tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có 6 đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang.
Đáp án A.