Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau
Số giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình $\left[ {{\log }_{2}}f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}+1 \right]f\left( x \right)\ge m$ có nghiệm trên khoảng $\left( -2;1 \right)$ là
A. 68.
B. 18.
C. 229.
D. 230.
Số giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình $\left[ {{\log }_{2}}f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}+1 \right]f\left( x \right)\ge m$ có nghiệm trên khoảng $\left( -2;1 \right)$ là
A. 68.
B. 18.
C. 229.
D. 230.
Ta có: $\left[ {{\log }_{2}}f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}+1 \right]f\left( x \right)\ge m$ có nghiệm trên khoảng $\left( -2;1 \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=\left[ {{\log }_{2}}f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}+1 \right]f\left( x \right)$ khi đó bài toán tương đương với $g\left( x \right)\ge m$ có nghiệm trên khoảng $\left( -2;1 \right)$
Ta có: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)\left[ \dfrac{1}{\ln 2}+f\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}+{{\log }_{2}}f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}+1 \right]$
Xét $\forall x\in \left[ -2;4 \right]:\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)\in \left[ 2;4 \right] \\
& f\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}+{{\log }_{2}}f\left( x \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$
Ta có bảng biến thiên của $g\left( x \right)$
Từ đó ta thấy để phương trình có nghiệm thì: $m\le g\left( -2 \right)=4\left( 3+{{e}^{4}} \right)\approx 230,4$
Vậy $m\in \left\{ 1;2;...;230 \right\}$ do đó sẽ có 230 giá trị
Đặt $g\left( x \right)=\left[ {{\log }_{2}}f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}+1 \right]f\left( x \right)$ khi đó bài toán tương đương với $g\left( x \right)\ge m$ có nghiệm trên khoảng $\left( -2;1 \right)$
Ta có: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)\left[ \dfrac{1}{\ln 2}+f\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}+{{\log }_{2}}f\left( x \right)+{{e}^{f\left( x \right)}}+1 \right]$
Xét $\forall x\in \left[ -2;4 \right]:\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)\in \left[ 2;4 \right] \\
& f\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}+{{\log }_{2}}f\left( x \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$
Ta có bảng biến thiên của $g\left( x \right)$
Từ đó ta thấy để phương trình có nghiệm thì: $m\le g\left( -2 \right)=4\left( 3+{{e}^{4}} \right)\approx 230,4$
Vậy $m\in \left\{ 1;2;...;230 \right\}$ do đó sẽ có 230 giá trị
Đáp án D.