Google
Câu hỏi: . Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình $\left( {{x}^{2}}+1 \right)f\left( x \right)\ge m$ có nghiệm trên khoảng $\left( -1;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m<8.$
B. $m\le 15.$
C. $m<2.$
D. $m<15.$
Bất phương trình $\left( {{x}^{2}}+1 \right)f\left( x \right)\ge m$ có nghiệm trên khoảng $\left( -1;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m<8.$
B. $m\le 15.$
C. $m<2.$
D. $m<15.$
Đặt $\left( {{x}^{2}}+1 \right)f\left( x \right)=g\left( x \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2\text{x}.f\left( x \right)+\left( {{x}^{2}}+1 \right){f}'\left( x \right)$
Xét $x\in \left( -1;2 \right)$ ta có $x>0$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>0 \\
& xf\left( x \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0 $ và với $ x<0 $ thì $ \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)<0 \\
& xf\left( x \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$.
+ Từ đó ta có bảng biến thiên
+ Theo BBT thì để bất phương trình $\left( {{x}^{2}}+1 \right)f\left( x \right)\ge m$ có nghiệm trên khoảng $\left( -1;2 \right)$ khi và chỉ khi $m<15$.
Xét $x\in \left( -1;2 \right)$ ta có $x>0$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>0 \\
& xf\left( x \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0 $ và với $ x<0 $ thì $ \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)<0 \\
& xf\left( x \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$.
+ Từ đó ta có bảng biến thiên
+ Theo BBT thì để bất phương trình $\left( {{x}^{2}}+1 \right)f\left( x \right)\ge m$ có nghiệm trên khoảng $\left( -1;2 \right)$ khi và chỉ khi $m<15$.
Đáp án D.