Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ...

Nếu $2n<0$ thì phương trình vô nghiệm (loại)
Nếu $n=0\Rightarrow f\left( x \right)=m$ có tối đa $3$ nghiệm (loại)
Nếu $n>0\Rightarrow \left| f\left( x \right)-m \right|=2n\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)-m=2n \\
& f\left( x \right)-m=-2n \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=m+2n \left( 1 \right) \\
& f\left( x \right)=m-2n \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đường thẳng $y=m+2n$ song song và nằm phía trên đường thẳng $y=m-2n$.
Vì vậy phương trình có đúng $5$ nghiệm khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm và phương trình $\left( 2 \right)$ có $3$ nghiệm hoặc ngược lại.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m+2n=11 \\
& -5<m-2n<11 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& -5<m+2n<11 \\
& m-2n=-5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m=11-2n \\
& -5<\left( 11-2n \right)-2n<11 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& -5<\left( 2n-5 \right)+2n<11 \\
& m=2n-5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m=11-2n \\
& 0<n<4 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& 0<n<4 \\
& m=2n-5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left( m;n \right)=\left( 9;1 \right); \left( 7;2 \right); \left( 5;3 \right); \left( -3;1 \right); \left( -1;2 \right); \left( 1;3 \right)$
Vậy có $6$ cặp số nguyên $\left( m;n \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.