Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ...

Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-3x \right)+1$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=-3{f}'\left( 1-3x \right)$ suy ra ${g}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow {f}'\left( 1-3x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 1-3x=-1 \\
& 1-3x=3 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{2}{3} \\
& x=-\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
$g\left( \dfrac{2}{3} \right)=f\left( -1 \right)+1=6$ ; $g\left( -\dfrac{2}{3} \right)=f\left( 3 \right)+1=-2$.
Suy ra bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình $\left| f\left( 1-3x \right)+1 \right|=3$ có $4$ nghiệm.