Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ...

Ta có $|f(1-2x)+2|=5\iff [\begin{array}{rl}& f(1-2x)+2=5\\ & f(1-2x)+2=-5\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& f(1-2x)=3\left(2\right)\\ & f(1-2x)=-7\left(3\right)\end{array}$
Đặt $1-2x=t$ với mỗi $x\in \mathbb{R}$ có 1 và chỉ 1 giá trị $t\in \mathbb{R}$.
Đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)$ cũng là đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$.
Số nghiệm của phương trình (2) là số hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)$ với đường thẳng $y=3$. Có 3 giao điểm nên phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.
Số nghiệm của phương trình (3) là số hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)$ với đường thẳng $y=-7$. Có 1 giao điểm nên phương trình (3) có đúng 1 nghiệm.
Nghiệm của phương trình (3) không trùng với nghiệm của phương trình (2)
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.