Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình sau:
Phương trình $f\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x-1=0$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm thực phân biệt trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ ?
A. 3.
B. 2.
C. 0.
D. 1.
A. 3.
B. 2.
C. 0.
D. 1.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( 4x-{{x}^{2}} \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x-1$ trên $\left[ 1;3 \right]$
Ta có ${g}'\left( x \right)=\left( 4-2x \right){f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+{{x}^{2}}-6x+8=\left( 2-x \right)\left[ 2{f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)-x+4 \right]$
Với $x\in \left[ 1;3 \right]\Rightarrow 3\le 4x-{{x}^{2}}\le 4\Rightarrow 3{f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)>0$ và $4-x>0$
Suy ra $2{f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)-x+4>0;\forall x\in \left[ 1;3 \right]\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=2$
Vậy phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có nhiều nhất 2 nghiệm.
Ta có ${g}'\left( x \right)=\left( 4-2x \right){f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+{{x}^{2}}-6x+8=\left( 2-x \right)\left[ 2{f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)-x+4 \right]$
Với $x\in \left[ 1;3 \right]\Rightarrow 3\le 4x-{{x}^{2}}\le 4\Rightarrow 3{f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)>0$ và $4-x>0$
Suy ra $2{f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)-x+4>0;\forall x\in \left[ 1;3 \right]\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=2$
Vậy phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có nhiều nhất 2 nghiệm.
Đáp án B.