Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)=f\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x+\dfrac{1}{3}$ trên đoạn $\left[ 1 ; 3 \right]$.
A. 15.
B. $\dfrac{25}{3}$.
C. $\dfrac{19}{3}$.
D. 12.
A. 15.
B. $\dfrac{25}{3}$.
C. $\dfrac{19}{3}$.
D. 12.
${g}'\left( x \right)=\left( 4-2x \right){f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+{{x}^{2}}-6x+8$ $=\left( 2-x \right)\left[ 2{f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+4-x \right]$.
Với $x\in \left[ 1 ; 3 \right]$ thì $4-x>0$ ; $3\le 4x-{{x}^{2}}\le 4$ nên ${f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)>0$.
Suy ra $2{f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+4-x>0$, $\forall x\in \left[ 1 ; 3 \right]$.
Bảng biến thiên
Suy ra $\underset{\left[ 1 ; 3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)$ $=f\left( 4 \right)+7=12$.
Với $x\in \left[ 1 ; 3 \right]$ thì $4-x>0$ ; $3\le 4x-{{x}^{2}}\le 4$ nên ${f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)>0$.
Suy ra $2{f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+4-x>0$, $\forall x\in \left[ 1 ; 3 \right]$.
Bảng biến thiên
Suy ra $\underset{\left[ 1 ; 3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)$ $=f\left( 4 \right)+7=12$.
Đáp án D.