Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình dưới...

The Professor · 28/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

g (x) = f (4 x - x^{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + \frac{1}{3}

trên đoạn

[1; 3] .

A.

\frac{25}{3}

.
B.

15

.
C.

\frac{19}{3}

.
D.

12

.

Ta có

g^{'} (x) = f^{'} (4 x - x^{2}) . (4 - 2 x) + x^{2} - 6 x + 8 = 2 (2 - x) [f^{'} (4 x - x^{2}) + \frac{4 - x}{2}]

Xét thấy

\forall x \in [1; 3] \Rightarrow 3 \leq 4 x - x^{2} \leq 4 \Rightarrow f^{'} (4 x - x^{2}) > 0

Mặt khác

\frac{4 - x}{2} > 0

\forall x \in [1; 3]

Suy ra

g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 2

\begin{aligned} g (1) = f (3) + \frac{19}{3} < f (4) + \frac{17}{3} = 5 + \frac{17}{3} = \frac{32}{3} \\ g (3) = f (3) + \frac{19}{3} < f (4) + \frac{19}{3} = 5 + \frac{19}{3} = \frac{34}{3} \\ g (2) = 5 + 7 = 12. \end{aligned}

\Rightarrow g (1) < g (2); g (3) < g (2)

. Vậy

max_{[1; 3]} g (x) = 12

tại

x = 2.

Đáp án D.

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình dưới...