Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
$g\left( x \right)=f\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x+\dfrac{1}{3}$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right].$
A. $\dfrac{25}{3}$.
B. $15$.
C. $\dfrac{19}{3}$.
D. $12$.
$g\left( x \right)=f\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x+\dfrac{1}{3}$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right].$
A. $\dfrac{25}{3}$.
B. $15$.
C. $\dfrac{19}{3}$.
D. $12$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right).(4-2x)+{{x}^{2}}-6x+8=2\left( 2-x \right)\left[ {f}'(4x-{{x}^{2}})+\dfrac{4-x}{2} \right]$
Xét thấy $\forall x\in \left[ 1;3 \right] \Rightarrow 3\le 4x-{{x}^{2}}\le 4\Rightarrow {f}'(4x-{{x}^{2}})>0$
Mặt khác $\dfrac{4-x}{2}>0$ $\forall x\in \left[ 1;3 \right] $
Suy ra ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2$
$\begin{aligned}
& g\left( 1 \right)=f(3)+\dfrac{19}{3}<f(4)+\dfrac{17}{3}=5+\dfrac{17}{3}=\dfrac{32}{3} \\
& g(3)=f(3)+\dfrac{19}{3}<f(4)+\dfrac{19}{3}=5+\dfrac{19}{3}=\dfrac{34}{3} \\
& g(2)=5+7=12. \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow g\left( 1 \right)<g\left( 2 \right); g\left( 3 \right)<g\left( 2 \right)$. Vậy $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)=12$ tại $x=2.$
Xét thấy $\forall x\in \left[ 1;3 \right] \Rightarrow 3\le 4x-{{x}^{2}}\le 4\Rightarrow {f}'(4x-{{x}^{2}})>0$
Mặt khác $\dfrac{4-x}{2}>0$ $\forall x\in \left[ 1;3 \right] $
Suy ra ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2$
$\begin{aligned}
& g\left( 1 \right)=f(3)+\dfrac{19}{3}<f(4)+\dfrac{17}{3}=5+\dfrac{17}{3}=\dfrac{32}{3} \\
& g(3)=f(3)+\dfrac{19}{3}<f(4)+\dfrac{19}{3}=5+\dfrac{19}{3}=\dfrac{34}{3} \\
& g(2)=5+7=12. \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow g\left( 1 \right)<g\left( 2 \right); g\left( 3 \right)<g\left( 2 \right)$. Vậy $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)=12$ tại $x=2.$
Đáp án D.